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 帶有非線性聯(lián)軸器軸系穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計算方法的研究

5-1帶有非線性聯(lián)軸器軸系力學和數(shù)學模型的建立
在第三章，根據(jù)試驗的基礎(chǔ)建立了具有非線性遲滯特性聯(lián)袖器的恢復力模型。這一章，將研究一個帶有這種聯(lián)軸器的軸系如圖5-1所示，該軸系有n個圓盤，由鋼絲繩聯(lián)軸器與主機相連接，按以下原則建立力學模型：
1.每個圓盤均視為剛性勻質(zhì)，所有圓盤的質(zhì)量mi都有不同程度的偏心距ei。轉(zhuǎn)軸軸線垂直通過各圓盤的幾何中心；
2.設(shè)軸承、軸承座以及聯(lián)軸器各向同性，靜坐標系如圖5-1所示，支座處理成簡支；
3.聯(lián)軸器從動端處理成一集中質(zhì)量m_b，由于聯(lián)軸器主動端與主機軸相連接，主機袖相對軸系軸來說，較短較粗，剛性較大，變形較小，故將聯(lián)軸器主動端、主機軸視為一體，位移為零，聯(lián)軸器從動端與主動端之間由非線性彈簧及非線性阻尼器聯(lián)結(jié)；
4.軸系為小位移振動，且忽略回轉(zhuǎn)效應(yīng)。

當主機以角速度ω轉(zhuǎn)動時，軸系在各偏心力的作用下產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)振動，其運動微分方程可表示為：

式中 分別為軸系的質(zhì)量和左陣、阻尼矩陣和剛度矩陣。其中阻尼矩陣，a，b為比例常數(shù)。

其中：y_i,z_i分別為軸系中第i個圓盤在y,z方向的位移分量； =dy_i/dt， =d²y_i/dt²， =dz_i/dt， =d²z_i/dt²分別為對應(yīng)于位移分量y_i,z_i的速度和加速度，y_b,z_b為聯(lián)軸器從動端集中質(zhì)量塊m_b在y,z方向的位移； =dy_b/dt， =d²y_b/dt²， =dz_i/dt， =d²z_d/dt²分別為對應(yīng)于位移分量yb,zb的速度和加速度；,為y,z方向的激勵力向量，其中m_ie_iω²cos（ωt+ ），m_ie_iω²sin（ωt+ ）分別為y,z方向的偏心力分量； （ ，y_b， ，ωt), （ ，z_b， ，ωt）分別為非線性彈性聯(lián)軸器恢復力 在y,z方向的分量。 為第i個圓盤質(zhì)量偏心的初相位角，即軸系靜止時，第i個圓盤質(zhì)心和幾何中心連線與水平軸的夾角。
由于假設(shè)軸承、軸承座以及聯(lián)軸器各向同性，式（5-1〕、式（5-2）解法相同，只需要討論二者之一即可。

式（5-l）表示一個局部非線性彈性和阻尼元件的振動系統(tǒng)，對這種系統(tǒng)，按現(xiàn)有常規(guī)方法來求解是非常困難的，為此，本文以GILM為基礎(chǔ)發(fā)展了一種稱為SSGILM(Separate System-Gal-erkin and Improved Levenbery-Marquar-dt）的方法來求解此類微分方程組。

5-2  SSGILM法

一.振動微分方程組的改寫和解耦
首先把有局部非線性系統(tǒng)振動微分方程組（5-1）式改寫成只有線性常系數(shù)的微分方程組和一個具有非線性變參數(shù)的微分方程兩部分：

式中：

式（5-4）的P_y中含有y_b和 而（5-5）的F_j中含有y_j，（j=1，2，… n）。這樣，軸系分成運動微分方程耦聯(lián)的兩個子系統(tǒng)一線性軸系子系統(tǒng)和非線性聯(lián)軸器子系統(tǒng)。

式（5-4）為線性方程，按常規(guī)方法可求出無阻尼的各階固有頻率p_i以及對應(yīng)的主振型Y_i向量（i=1，2，…，n），Y_i分別除以相應(yīng)廣義質(zhì)量的平方根 得到正則振型Y_Ni向量。引入正則振型坐標W_Ni，對（5-4）式進行坐標變換；

式中，W_Ni為正則振型向量W_N中的第i個分量， 和 ，分別為它對時間t的一次導數(shù)和二次導數(shù)；I為單位矩陣； s_i=（a+ ）/2P_i=c_ii/2p_im_i為振型比例阻尼比；P_Ni為P_N= P_y激勵力向量中的第i個分量。
經(jīng)正則坐標變換，雖然得到互不耦合的線性微分方程組（5-9)，但是（5-9）式仍然不能像單自由度振動系統(tǒng)那樣求解，因為（5-9）式中的激勵力包含未知的振動位移y_b和振動速度 。如果y_b已知，就可以從（5-9）式中解得W_Ni，進而可以由（5-7）式得到各y_i。因此需要求得y_b。
圖5-1所示軸系在主機帶動下轉(zhuǎn)動時，各圓盤質(zhì)量偏心將產(chǎn)生周期偏心激勵力，根據(jù)第二章的試驗結(jié)果，聯(lián)軸器非線性恢復力Q是時間的周期函數(shù)，因此當軸系中有聯(lián)軸器這種局部非線性元件時，可以設(shè)它的位移響應(yīng)是周期性的，即假設(shè)y_b有下面的形式：

由式（5-6）、（5-8）和（5-9）可知，激勵力由二類力構(gòu)成，一類是質(zhì)量偏心力m_ie_iω²cos（ωt+ ，另一類是恢復力k_i（n+1）y_b-c_i（n+1） ，為求解（5-8）式方便，將（5-10）代入（5-8）式，并將正則激勵力分解成：

P_N= P_y=P_N1+P_N2                                        （5-11）

式中：

由（5-11）和（5-12）式可知，若{a}已知，就可以由（5-12）式求出各W_Ni，代W_Ni入（5-7）式，可以得到各y_i。由此可以把求y_b的問題轉(zhuǎn)化為求{a}=[a₀  a₁  的問題。

二、Galerkin法的應(yīng)用

為了求出{a}，引入無量綱時間τ= ，則（5-10）式可以寫成：

式中[q₀  q₁   … q_N  ]^T的各分量為聯(lián)軸器恢復力 的傅立葉級數(shù)各簡諧分量的系數(shù)分量。[f₁₀  f₁₁    …  f_1N    ]^T，…[f_jo  f_j1   … f_jN  ]^T，…[f_n0  f_n1   … f_nN  ]^T分別為彈性恢復力和阻尼恢復力的F₁=k_（n+1） +c_（n+1） …，F(xiàn)_j=k_（n+1）+ c_（n+1） …，F(xiàn)_n=k_（n+1）+_（n+1） 的傅立葉級數(shù)各簡諧分量的系數(shù)向量。

由以上推導可知，求解帶有非線性聯(lián)軸器軸系的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，可以歸結(jié)為聯(lián)合求解2N+1個非線性代數(shù)方程組（5-15）和求解n個微分方程組（5-4)而重點又在于由（5-15）式求得2N

+1個未知量［a₀  a₁  ］^T。由(5-15）式可知，它不同于一般的非線性方程組，在一般的非線性方程組中，未知量是顯含的，而（5-15）式的未知量{a}是隱含的，而且{q｝是{a｝的非線件函數(shù)。不能通過將y_b的傅立葉展開式代人恢復力O的表達式中來直接求得，這是因為Q表達式中的振幅 不能表示成{a}的顯函數(shù)的緣故。因此要想由（5-1）式解得｛a}，還需要解決兩個問題：一是如何求 ,二是用什么來解隱含{a}的方程組（5-15)。下面就決這些問題。

三、ILM法

將非線性方程組簡寫成：

由于向量函數(shù){r（{a}）}中非線性項{q（{a}）}的復雜性，可行的求解方法是采用數(shù)值法。

對于式（5-17）的數(shù)值法求解問題，我們將其轉(zhuǎn)化為與之等效的目標函數(shù)：

的極小值問題。即非線笥方程組（5-17）的解{a}可以通過求此極小值問題的最小二乘解得到。在此采用一種改進的LM算法（ILM）來求解這一問題。ILM法的基本思想簡述如下：

當LM法用于（5-18）問題時，迭代公式為：

式中μ_k是LM參數(shù)，I為單位矩陣，{p^（k）（μ_k）}為搜索逼近（5-17）式解的校正向量，它依賴于參數(shù)μ_k值，控制搜索方向和長度。

LM算法的優(yōu)點是，在計算（5-20）式時，可以不考慮[J（{a^（k）}）]是否滿秩，μ_k可以起到 （{a}）下降參數(shù)的作用，{p^（k）（μ_k）}是 （{a}）在{a^（k）}處的下降方向，而且總存在這樣的μ≥0，使 （{a^（k）}+ p^（k））< {a^（k）}）（對所有k），隨著μ值的增大，{p^（k）（μ_k）}的方向越來越接近 （{a^（k）}的負梯度方向，此時，收斂速度變慢，但放寬了對初始近似{a^（0）}的要求。缺點是選擇μ滿足 （{a^（k+1）}）< （{a^（k）}）時，在一個迭代步驟中需要多次求解方程組（5-20），大大增加了計算量，因此有必要對LM法進行改進，以使選擇μ_k時即不增加太多的計算量，又能保證滿足下降性質(zhì)，即有一定的收斂速度，又能改善（5-20）方程組的病態(tài)性。改進后的迭代公式為：

式中才 為矩陣 ^（k）的元素。 ， 分別為矩陣L^（k）， ^（k）的元素。公式（5-23）和（5-27）和（5-28）中不含參數(shù)聲μ_k，因此改變μ_k時，只需重新計算(5-24),而不需要重新進行三角分解。顯然，改進后的算法減少了由于選擇合適的μ_k而帶來的計算量。這種算法與LM法的不同之處在于用正定矩陣L_k 代替了單位矩陣I，它不僅調(diào)整了矩陣 ^（k）的主對角元素，而且對整個矩陣進行了調(diào)整，它比LM法有更好的收斂速度。
為了得到合適的μ_k值，使得搜索向量{p^（k）（μ_k）}更快更好地滿足 （{a^（k）}+ p^（k））< {a^（k）}），加速收斂，改善LM法對初始值{a^（0）}要求過高的缺點，本文采用一種選擇合適μ_k值的新算法，對LM法進行了改進，選擇計算步驟如下：

①.取定初始近似{a^（0）}和初始值 ，為了調(diào)整μ_k值，引人調(diào)整系數(shù)v, 可以取得小一些，取 =10^-2，v=5。

②.按（5-21) 式首先算得［J（{a^（0）}）]，然后按（5-26）式算得0⁽⁰⁾ ，再根據(jù)（5-27）、（5-28）式算得矩陣L^(0）和 ^（0）中的各元素，按(5-25）、(5-23）和（5-24）算得{P^（0）（ ）}；按（5-17）算得{r（{a^（0）}）}；按（5-18）算 （{a^（0）}）。并計算{a^（1）}={a^（0）}+{P^（0）（ ）}和 （{a^（1）}）
③.(l）如果少 （{a^（1）}）≤ （{a^（0）}），則以 /v代替 重新計算{P^（0）（ /v）}和新的{ ^（1）}， （{ ^（1）}）。（a）如果有 （{ ^（1）}）≤ （{a^（0）}），則取定μ₀= /v；（b）如果 （{a^（1）}）> （{a^（0）}），則取定μ₀= ，（2） （{a^（1）}）> （{a^（0）}），則需增大μ值，取 =v^m ，以 代替 ，逐次對m=1，2，…時的 代入（5-24）進行計算，最后取定使不等式 （{a^（0）}）+{ P^（0）（ ）}）< （{a^（0）}）成立的最小正整數(shù) 對應(yīng)的 作為μ₀以及{a^（1）}+{P（ ）}。

④.假定已求得第k次近似{ a^（k）}和相應(yīng)的 =μ_k-1，算出[J（{ a^（k）}）]， ^（k），L^（k）， ^（k），r（{ a^（k）}）}， （{ a^（k）}），然后算得{P（ ）}，并計算{ a^（k+1）}={ a^（k）}+{P（ ）}和 （{ a^（k+1）}）。

⑤.（1）如果 （{ a^（k+1）}）≤ （{ a^（k）}），則減少 以/V代替 重新計算{P（/V ）}和對應(yīng)的{ ^（k+1）}及 （{ ^（k+1）}）（a）如果 （{ ^（k+1）}）≤ （{ a^（k）}），則取定μ_k=/V ；（b）如果 （{ ^（k+1）}）> （{ a^（k）}），則取定μ_k= （2）如果 （{ ^（k+1）}）> （{ a^（k）}），則增大 值，可取 =v^m ,以 代替 ,逐次時m=1，2，…時的 代入（5-24）式進行計算，最后取定使不定式 ({ a^（k）}+{P（ ）}< （{ a^（k）}）。

⑥.目標函數(shù) （{a}）的k次迭代和k+1次迭代如果滿足絕對誤差和相對誤差精度，即可將{ a^（k+1）}作為近似解。如果不滿足，則以{ a^（k+1）}代替{ a^（k）}，μ_k代替μ_k-1去執(zhí)行步驟⑤，直到滿足要求為止。

至此，（5-17）式的求解方法已經(jīng)建立起來，日（5-17）式求解{a}還需要求出 ，{q}和（f_j）（j=1，2，…，n）。另外，在用（5-21）式求[J（{a}）]時遇到r_i（{a}）對隱含向量{a}求偏導數(shù)的麻煩，因此在計算[J（{a}）]時，需要做些處理。由（5-15）式可知，它是頻域內(nèi)的2N+1個非線性代數(shù)方程組，而非線性遲滯恢復力 是時域函數(shù)，因此在求解（5-15）時需要進行頻域與時域相互變換，并做一些數(shù)學上的處理，下面逐一敘述。

5-3一步用SSGILM法計算帶有非線笥聯(lián)軸器軸系穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

為了求得未知向量{a}，還需做以下工作：

一、向量函數(shù){r（{ a^（k）}）}的計算

要計算{r（{ a^（k）}）}為聯(lián)軸器恢復力 的傅立葉級數(shù)展開式各簡諧分量的系數(shù)向量。對于給定的{ a^（k）}，不能由時域表達式求得頻域內(nèi)的{q（{ a^（k）}）}，而必須按以下步驟計算。

首先，由給定的頻域向量{q（{ a^（k）}）}，根據(jù) 的N個時域離散值，記為Y（1）～Y（N）和DY（1）～DY（N），其次，由下式求得 幅值

然后，將 以及 時域離散值代入第三章中得到的恢復力 的表達式（3-8）、（3-12）、（3-27）和（3-41）式，算得對應(yīng)于{ a^（k）}的恢復力Q在一個周期內(nèi)N個Q的時域離散值進行FFT變換，即可得到非線性恢復力Q在頻域內(nèi)的各諧波分量的系數(shù)向量{q（{ a^（k）}）}

2. {f_j（{ a^（k）}）}的計算

{f_j（{ a^（k）}）}是式（5-6）中恢復力F_j的傅立葉級數(shù)展開式各諧波分量的系數(shù)向量。當向量{ a^（k）}給定時，首先由5-2節(jié)中所述方法算得各個 和 （j=1，2，…，n），其次由（5-6）式中恢復力F_j的各諧波分量的系數(shù)向量{f_j（{ a^（k）}）}。

算得{q（{ a^（k）}）}和{f_j（{ a^（k）}）}后，代入（5-15）式即可得到{r（{ a^（k）}）}。

二、雅可比矩陣[J（{ a^（k）}）]的計算

為計算方便起見，將雅可比矩陣式（5-21）分解成三個矩陣：

[J（{ a^（k）}）]=[J₁]+[J₂]+[J₃]                  （5-30）

1.[J₁]的計算

由（5-15）和（5-21）式可得：

[J₁]=

2. [J₂]的計算

[J₂]的計算實際上就是對 {q（{ a^（k）}）}/ { a^（k）}的計算。由于恢復力Q的函數(shù)表達式是{ a^（k）}的隱函數(shù)，因此不可能由Q的表達式直接進行FFT變換來求得{q（{ a^（k）}）}，也可能由{q（{ a^（k）}）}直接對{ a^（k）}；求偏導數(shù)來得到[J₂]：

由第三章中的式（3-8）、（3-12）、（3-41）和本章中的式（5-13）可得：

式中， ，， ，， 可以直接由Q的表達式和（5-13）進行解析計算得到， / { a^（k）}， / { a^（k）}也可以由（5-13）式直接進行解{ a^（k）}，選取增量△{ a^（k）}，然后計算一個周期內(nèi)對應(yīng)的 （{ a^（k）}+△{ a^（k）}）和 （{ a^（k）}）值，得：

由（5-32）式算得 / { a^（k）}的時域離散值后，進行FFT變換即可得到頻域中的 {q（{ a^（k）}）}/ { a^（k）}。

3. [J₃]的計算

[J₃]的計算實際上就是偏導數(shù) {f_j（{ a^（k）}）}/ { a^（k）}的計算。計算方法與計算 {q（{ a^（k）}）}的方法類似，故不再贅述。對于[J₂]，[J₃]、分別有式（5-34）、（5-35）。

在計算出{r（{ a^（k）}）}和{J（{ a^（k）}）}之后，就可以按5-2節(jié)中發(fā)展的ILM法進行搜索迭代計算，由初始向量{a^（0）}不斷搜索逼近滿足精度要求的{ a^（k+1）}，然后代入（5-10）、（5-11）、（5-12）和（5-7）即可求得聯(lián)軸器從動動端質(zhì)理塊m_b的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)y_b以及軸系中各圓盤轉(zhuǎn)子穩(wěn)態(tài)應(yīng)Y。同時還可以得到對應(yīng)的幅頻圖。

5-4小結(jié)
本章對帶有非線性聯(lián)抽器的n+1個自由度軸系在四盤質(zhì)量偏心產(chǎn)生的激勵力作用下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計算方法進行了研究，以GLM法為基礎(chǔ)，提出了一種稱為SSG

ILM (Separate System-Ga1erkin and Imp-r0ved Leenberg-Marquardt的方法，用于計算局部具有非線性特性軸系的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，
主要工作如下：
1.建立帶有非線性聯(lián)鈾器n+1個自由度軸系的止）學模型和數(shù)學模型，為了求解這種局部含有非線性元件的軸系的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，將軸系分成兩個子系統(tǒng)，即含有n個自由度的線性軸系和含有非線性變參數(shù)的聯(lián)軸器子系統(tǒng)。
2.對線性軸系子系統(tǒng)運動微分方程組用正則坐標變換進行解藕處理；對非線性變參數(shù)的聯(lián)軸器子系統(tǒng)運動微分方程用Galerkin法，變成一組隱含系數(shù)向量{a}的非線性代數(shù)方程組。
3.針對LM法的缺點，采用已有的選擇合適μ值的方法和加快收斂速度的算法對LM法進行了改進，用改進算法對上面得到的非線生方程組中的未知向量{a}進行搜索計算，最后解出局都具有非線性特性軸系的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。