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4.4系統(tǒng)固有特性及勢能分布率
要分析和評價減速器的扭振特性，必須先計算出系統(tǒng)的各階固有頻率、相應(yīng)的主振型和各階模態(tài)柔度。
4.4.1固有頻率和主振型的確定
欲求系統(tǒng)的各階固有頻率和主振型，需求解系統(tǒng)的無阻尼自由振動方程。當(dāng)系統(tǒng)自由振動時，激勵力矩和阻尼均為零，此時系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型以復(fù)數(shù)表示為：
根據(jù)邊界條件，系統(tǒng)自由端狀態(tài)矢量中M=0，固定端Θ=0。代入式（4-23）得
式（4-24）有非零解的充要條件是
G11=0 （4-25）
當(dāng)不計阻尼時，慣性元件的傳遞矩陣是系統(tǒng)振動頻率的平方ω2的函數(shù)，彈性元件的傳遞矩陣僅與元件的剛度有關(guān)，所以系統(tǒng)累積傳遞矩陣的元素G22是ω2的函數(shù)，并且ω2的階次與系統(tǒng)的慣性元件數(shù)目相同，所以滿足式(4-25)的振動頻率均為系統(tǒng)的固有頻率。
求出系統(tǒng)的各階固有頻率ω后，即可求出相應(yīng)各階主振型和系統(tǒng)主振型。倘若取第s階固有頻率ωs代入下式，便右逐一求出各元件的第s階狀態(tài)矢量Θ1（s）、Θ2（s）、…、Θn+1（s）。
所取得的一系列Θ（s）值，便是第s階主振型{Θ（s）}，它表示系統(tǒng)以ωs頻率扭振時，各慣性元件扭轉(zhuǎn)角大小的相對比值。將各階主振型向量合并即可得到系統(tǒng)的主振型。
4.4.2 模態(tài)柔度和勢能分布率的確定
在建立了反映傳動系統(tǒng)動態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，可對結(jié)構(gòu)進(jìn)行動力修改或優(yōu)化設(shè)計以使所設(shè)計的系統(tǒng)具有良好的動態(tài)特性。通常的結(jié)構(gòu)動力修改問題，是要求把結(jié)構(gòu)的振動強(qiáng)度或動柔度限制在一定的范圍內(nèi)。有效的修改過程是先找出結(jié)構(gòu)的薄弱環(huán)節(jié)，然后有針對性的修改薄弱環(huán)節(jié)的局部結(jié)構(gòu)，從而使整個系統(tǒng)的動態(tài)特性滿足要求。確定結(jié)構(gòu)薄弱環(huán)節(jié)并以此為依據(jù)進(jìn)行結(jié)構(gòu)修改的方法主要是考察系統(tǒng)的模態(tài)柔度和勢能分布率。
由于系統(tǒng)的最大能量Emax是與振型向量{Θ}的平方成正比的，不論阻尼大小如何，這個比例關(guān)系總是一定的。因此，模態(tài)柔度是一個與阻尼無關(guān)的參數(shù)，其大小僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和物理參數(shù)。改變結(jié)構(gòu)參數(shù)、物理參數(shù)的大小和配置方式，均將使其發(fā)生明顯的變化。系統(tǒng)的第s階模態(tài)柔度R(s）的定義為
式中θn+1(s)——系統(tǒng)末端在第s階模態(tài)振動時的扭振幅值（rad)；
Ui(s)——系統(tǒng)中第i 個彈性元件在第s階模態(tài)振動時的勢能。其值為
式中Ui(s)——系統(tǒng)中第i 個彈性元件在第s階模態(tài)振動時的轉(zhuǎn)角。
模態(tài)柔度的大小表明了該階模態(tài)的危險程度。模態(tài)柔度越大，說明該階模態(tài)越危險。但要找出造成該階模態(tài)危險的原因，確定結(jié)構(gòu)修改的部位和修改內(nèi)容，僅憑模態(tài)柔度值還不夠，還必須考察各個彈性元件的勢能或勢能分布率。勢能分布率定義為
勢能分布率的大小表明系統(tǒng)中彈性元件變形能的大小，勢能分布率最大的元件也就是系統(tǒng)的最薄弱環(huán)節(jié)，即造成該階模態(tài)危險的主要原因。據(jù)此可以確定相應(yīng)的改進(jìn)措施，以提高系統(tǒng)的動態(tài)性能。
4.5 動力學(xué)模型參數(shù)的確定
在滾柱活齒減速器扭振動力學(xué)模型中，其參數(shù)包括幾何參數(shù)、物理參數(shù)和外載荷參數(shù)三類。幾何參數(shù)在減速器系統(tǒng)設(shè)計完成后即己完全確定，在物理參數(shù)中有質(zhì)量參數(shù)（如轉(zhuǎn)動慣量）、剛度參數(shù)（如活齒副嚙合剛度、傳動軸扭轉(zhuǎn)剛度等）和阻尼參數(shù)（如軸類零件扭轉(zhuǎn)阻尼）。其中，轉(zhuǎn)動慣量在系統(tǒng)設(shè)計后即可計算求得，傳動軸扭轉(zhuǎn)剛度可以按材料力學(xué)方法計算。下面給出活齒副嚙合剛度和軸類零件扭轉(zhuǎn)阻尼的計算方法。
4.5.1 活齒副的嚙合剛度
活齒副的嚙合剛度是指工作時活齒副共同抵抗變形的能力，它與嚙合副的綜合彈性變形有關(guān)。嚙合副的綜合彈性變形是指活齒副在嚙合過程中彈性變形的總和，表示為
δ=δ1+δ2 （4-31）
式中
δ1——活齒的彈性變形（mm)；
δ2——波發(fā)生器、活齒架或中心輪的彈性變形（mm)。
活齒副嚙合剛度k可表示為：
式中
k1——活齒的接觸剛度（N/mm),k1=1/δ1；
k2——波發(fā)生器、活齒架或中心輪的接觸剛度（N/mm),k2=1/δ2。
只要求出活齒及與活齒嚙合件的接觸變形，即可確定嚙合綜合剛度。接觸變形的計算按下式進(jìn)行:
式中
E——材料彈性模量（N/mm2)；
B——齒寬（mm）；
4.5.2 軸類零件扭轉(zhuǎn)阻尼
軸類零件的扭轉(zhuǎn)阻尼主要是材料阻尼，根據(jù)H.H.Lin.和C.Lee.等的分析，其扭轉(zhuǎn)阻尼可利用下式進(jìn)行計算:
式中ks——軸類零件的扭轉(zhuǎn)剛度（N·mm/rad)；
ξs——軸類零件的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)，根據(jù)D.R.Houser等的試驗研究，ξs一般取0.005～0.075；
I1,I2——分別為軸類零件兩端慣性元件的轉(zhuǎn)動慣量（kg·mm2）。
4.6 滾柱活齒減速器扭振動態(tài)特性分析
利用前面建立的滾柱活齒減速器系統(tǒng)的動力學(xué)模型對減速器系統(tǒng)進(jìn)行扭振分析，找出系統(tǒng)的固有特性，即固有頻率和主振型。由于軸承的旋轉(zhuǎn)阻尼很小，這里忽略不計。根據(jù)減速器各元件實際尺寸計算得到各慣性元件的等效轉(zhuǎn)動慣量、彈性元件的等效扭轉(zhuǎn)剛度如表4-1所示。
表4-1慣性元件的等效轉(zhuǎn)動慣量和彈性元件的等效扭轉(zhuǎn)剛度
| I1(kg·mm2) |
I2(kg·mm2) |
I3(kg·mm2) |
k1(N·mm/rad) |
k2(N·mm/rad) |
k3(N·mm/rad) |
| 2.2342×103 |
2.0833×104 |
7.2384×105 |
1.3313×1011 |
1.3313×1011 |
2.6864×1011 |
根據(jù)前面介紹的方法，在計算機(jī)上編程對減速器的扭振動力學(xué)特性進(jìn)行分析，其程序框圖見圖4-7所示。在計算機(jī)上運(yùn)算時，按照確定的頻率步長對頻率方程掃頻，作出“G11-ω”曲線，如圖4-8所示，凡G22=0時的ω值，就是系統(tǒng)的固有頻率。有關(guān)固有頻率、勢能分布率和模態(tài)柔度的計算結(jié)果見表4-2。另外，利用該程序還繪制出圖4-9所示的減速器系統(tǒng)的振型曲線。
表4-2 滾柱活齒減速器扭振動力學(xué)分析結(jié)果
| 固有頻率(×103rad/s) |
0.1896 |
2.4281 |
8.1645 |
| 主振型 |
{1.0000,0.9994,0.992} |
{1.0000,0.9011,-0.1358} |
{1.0000,-0.1186,9.4318} |
勢能分
布率 |
彈性元件1 |
0.4551 |
0.5508 |
0.0527 |
| 彈性元件2 |
0.4545 |
0.4472 |
0.00074227 |
| 彈性元件3 |
0.0904 |
0.0020 |
0.9465 |
| 系統(tǒng)模態(tài)柔度×10-7/rad(N·mm）-1 |
3.3637×10-5 |
7.6298×10-7 |
3.5234×10-4 |
通過表4-2中的分析結(jié)果我們可以看出，三階（8.1645×103rad/s）系統(tǒng)模態(tài)柔度最大，所以該階模態(tài)是危險模態(tài)。要找出造成該階危險模態(tài)的具體原因，我們可以考察各彈性元件的勢能分布率。從表4-2中可以看到，此時3號彈性元件的勢能分布率最大，這說明在扭轉(zhuǎn)時，它的彈性變形能最大，即它是最薄弱環(huán)節(jié)，是造成危險模態(tài)的主要原因。從這個結(jié)論出發(fā)，便可以采取相應(yīng)措施來改進(jìn)設(shè)計方案。通過適當(dāng)增加活齒架的壁厚或減小輸出軸長度來提高扭轉(zhuǎn)剛度，便可改善該減速器的動態(tài)特性。動態(tài)性能好的系統(tǒng)應(yīng)該是各階模態(tài)柔度小而且每階模態(tài)中各元件的能量分布均勻。為了達(dá)到這個目標(biāo)，可以按照上述方法繼續(xù)調(diào)整有關(guān)彈性元件的扭轉(zhuǎn)剛度，直到獲得滿意的結(jié)果為止。
在負(fù)載變化和誤差較小的情況下，滾柱活齒減速器系統(tǒng)的激勵頻率就是嚙合剛度的變化頻率。它的計算如下：
ω=2πni/60i=34.7rad/s
式中ni——輸入軸轉(zhuǎn)速（rpm)；
i——傳動比。
由表4-2中結(jié)果可知，減速器系統(tǒng)的一階基頻為189,6radis，系統(tǒng)基頻遠(yuǎn)大于激勵頻率，因此該減速器的振動水平較低，振動和噪聲較小。
4.7 本章小結(jié)
1.通過將組成滾柱活齒減速器的各個零件簡化成相應(yīng)的慣性元件和彈性元件，建立了減速器的系統(tǒng)動力學(xué)模型；通過將各慣性元件和彈性元件轉(zhuǎn)換到輸入軸上，得到了適于用傳遞矩陣法進(jìn)行動力學(xué)分析的鏈狀動力學(xué)模型。
2.在建立起慣性元件和彈性元件動力學(xué)數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，利用傳遞矩陣法建立了減速器系統(tǒng)的動力學(xué)數(shù)學(xué)模型；給出了活齒副嚙合剛度和軸類零件扭轉(zhuǎn)阻尼的計算公式。
3.利用所建立的動力學(xué)模型，通過編程分析了井下驅(qū)動螺桿泵采油減速器樣機(jī)的自由振動。得到了該系統(tǒng)的固有頻率、模態(tài)柔度和各階振型等動態(tài)特性參數(shù)。結(jié)果表明，該減速器具有良好的動態(tài)特性。
4.根據(jù)所求的模態(tài)柔度和各彈性元件的勢能分布率，找到了危險模態(tài)及導(dǎo)致危險模態(tài)的薄弱環(huán)節(jié)，為進(jìn)一步改進(jìn)其結(jié)構(gòu)，提高動態(tài)特性，提供了理論依據(jù)。
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