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4.3  解題方略

4.3.1  結(jié)構(gòu)有限元分析所用單元的類型選擇

為了計算結(jié)果與實驗結(jié)果相對照以驗證計算模型的正確與否，所選擇的單元其計算應(yīng)力應(yīng)能以總體坐標的形式來表示。疊片在軸向變形時，其位移量通常在1---2mm（角向位移時，許多節(jié)點的情況亦如此）這大大超過疊片的厚度（0.2—0.5mm )，因而其有限元應(yīng)力分析應(yīng)為幾何非線性分析�；�于疊片的幾何特性，我們選用三角形板單元來模擬它的大部分區(qū)域，而在螺栓孔附近、疊片被墊片由預(yù)緊力壓住，形成接觸面的區(qū)域我們采用三維體元來模擬，這是因為在這種情況下，亦即存在著三維接觸元的情況下，APOLANS程序指定必須使用三維體元，雖然在實際的幾何尺寸中，單一三維體單元上厚度與長、寬尺寸差別較大，但在實際計算中，程序能夠接受這種尺寸比例的體元，因此我們可以認為這種形式是適宜的。當然，最重要的還是體元和板元的交界部分如何對接。

如上圖網(wǎng)格狀陰影部分為接觸區(qū)，即用體元來表示的區(qū)域，疊片的其余部分均用板元來表示，對于上圖所指外圈處，亦即三維體元與板元的交界處，我們采用了如下圖所示對接觸方法。

如圖所示，我們以12節(jié)點體元來模擬螺孔中心帶磨擦部分的疊片實體，右邊為三角形板元，其中第9、第10兩個節(jié)點為三維體元和三角形板元共享的節(jié)點，這樣就可以將兩個部分結(jié)合在一起了。

當然，在三維體元和三解形板元的邊界對接上是有很多種方法的，為了確保我們這種對接方式是最為有效、可靠的，我們做了大量的計算工作，嘗試了諸多對接計算模型的驗算，最后得出結(jié)論，只有上圖所表示的接法才能夠保證在載荷相同的情況下（即原載荷加在板元上，現(xiàn)在加在體元上），板元內(nèi)部各點上所受力、力矩的方向和數(shù)量級才能保持一致，其余的各種方法，要么是力的數(shù)量級別產(chǎn)生較大差異，要么是力、力矩的方向發(fā)生變化，由此使我們最后認定以圖4.3.2所示的對接方法是可反映實際情況的，后面將計算結(jié)果與實驗數(shù)據(jù)相印證也證明了這種方法的可行性。

4.3.2  靜力平衡方程的解法

對于靜力問題最后建立的控制方程為代數(shù)方程組，對線性問題為線性代數(shù)方程組，對非線性問題為非線性代數(shù)方程組。

4.3.2.1  線性代數(shù)方程組的解法

一個線性方程組可寫成

[K][X]=[R]                (4.3.1)

其中[K]為剛度陣，[X]為位移向量，[R]為載荷向量。

大多數(shù)情況下[K]陣是對稱、正定的，所以有三角化分解：

[K]=[T]^T[T]                (4.3.2)

[T]為上三角陣，再進一步分解可得

[K]=[T]^T[D][T]                (4.3.3)

此時[T]為單位對角元的上三角陣，[D]為對角矩陣，由此得；

[T]^T[D][T][X]=[R]                (4.3.4)

即[T]^T[D][Z]=[R]                (4.3.5)

[Z]=[T][X]                (4.3.6)

式（4.3.5）為前代，(4.3.6）為回代，由此而計算出位移向量X ，有限元法形成的K矩陣是對稱、正定、稀疏的，非零元主要分布在矩陣對角線兩側(cè)，一維變帶寬存貯方法利用這一點，各列順序存貯，但僅存貯第一個非零元以下的元素，由于對稱僅存上三角矩陣，當實際工程模型較大時，內(nèi)存放不下總剛度陣[K] , 則矩陣將被分塊存貯于磁盤上，即程序規(guī)定給用戶一部分內(nèi)存空間A 作為工作數(shù)組用，不同計算階段分配不同存貯內(nèi)容，在組集總剛度陣時，存各元素信息及分塊的總剛度陣，內(nèi)、外存交互求解時放兩個總剛度陣的塊�？倓偠汝嚰窗碅/2，數(shù)組尺寸自動分成若干塊，存入磁盤文件。分解時按序調(diào)各塊進入內(nèi)存。

4.3.2.2  非線性代數(shù)方程組的解法

在疊片的帶摩擦元的強度計算中，我們采用了帶線性搜索的完全牛頓迭代方法。

一、牛頓拉斐遜法

結(jié)構(gòu)的總位能為：

Π= U(q)-{q}^T{F}          (4.3.7)

其中，U(q)為結(jié)構(gòu)的應(yīng)變能，{q}^T{F}為外載所做的功。

由虛功原理使上式總位能變分為零可得有限元平衡方程：

Π=[W（q）][P(q)][F]=[K(q)][q]-[F]          （4.3.8）

其中，[P(q)]是與應(yīng)力等效的節(jié)點力，[F]為外載。

我們有第i 次迭代得到 的［K_i（q_i）］可求到第i+1 次的未知變量｛q_i+1｝ 。

｛q_i+1｝={q_i′}-ω_i[K_i]^-1([K_i]{q_i}-{F})

為超松馳因子，用以加速收斂，即當我們有一個近似解{q_i}時，可用截斷的階泰勒級數(shù)得到一個改進的解：

上式左邊稱為雅可比矩陣，右邊第一項為載荷位移空間的切線剛度，它是對稱的，所以有：

[Δq_i]=-[K_i]^-1_T（[P（q_i）]-[F]）          ( 4.3.12)

其中（）內(nèi)為第i 次迭代不平衡力。

二、線性搜索加速

在求解方程（4.3.8)時，，尋求一個n 階矢量{q } ，實際上是在n 維空間找到一個方向和步長來滿足該方程。對于非線性方程組，要經(jīng)過多次迭代，每次迭代均要找到一個方向和步長，逐步達到平衡解，為了加速迭代的收斂，在由式（4.3.12）決定的力向上尋求一個優(yōu)化的步長，即將｛△q｝乘以某一標量η而使迭代加快。決定η 的原則是使能量增量φ最小化，即：

實際上直接按上式尋找η很費事，每尋找一個｛△q｝，必須解一次方程（4.3.10）所以又有近似方法更簡便，當不等式

|△{△q_i+1}^T{△F(q_i+△q_i+1)}|≤α|{△q_i+1}^T{△F(q_i)}|          (4.3.15)

成立時，即可得到滿意的收斂率，其中α是收斂容差，一般在0.5-0.9之間，如上式不成立，則使用線性搜索以改善收斂速度。

|△{△q_i+1}^T{△F(q_i+η△q_i+1)}|≤α|{△q_i+1}^T{△F(q_i)}|          (4.3.16)

可用線性插值尋找η。

三、收斂準則

運用迭代法存在兩次迭代間滿足什么樣的準則可以終止本次迭代問題，目前有三種收斂準則。

（一）位移準則

||△q_i+1||＜=α_D||q_i+q_i+1||          (4.3.17)

其中α_D為位移收斂容差，一般取0.1%--0.5%

取得是歐幾里德范數(shù)

（二）不平衡準則

||△F_i||＜=α_D||F||

（三）能量準則

{△q_i}^T({F}{P_i})＜=α_E(U_i+T_i)

即把每次迭代時內(nèi)能的增量（也就是不平衡力在位移增量上所做的功）同當前的總能量相比較。

其中，U_i為勢能，T_i為動能

α_E是預(yù)定的能量容差。

單純使用位移準則或不平衡準則不很理想，有些情況不會出現(xiàn)較大偏差，能量準則同時控制位移和力，由此達到平衡，是本文所采用的方法。

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