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5.1.4  特征值問(wèn)題

5.1.4.1  模態(tài)矩陣

由于主振型對(duì)質(zhì)量矩陣[M]和剛度矩陣[K]都具有正交性，因此主振型組成的矩陣作為線性變換矩陣，對(duì)系統(tǒng)的原方程進(jìn)行坐標(biāo)變換，可以使[M]和[K]同時(shí)對(duì)角線化，這里由系統(tǒng)的n個(gè)主振型（即主模態(tài)）按階次排列成一個(gè)n階方陣稱為橫態(tài)矩陣（或振型矩陣），以[φ]表示：

已知以系統(tǒng)的廣義坐標(biāo){x}表示的原運(yùn)動(dòng)方程為：

[M]{x}+[K]{x}={P}

現(xiàn)以模態(tài)矩陣[φ]對(duì)上式作線性變換：

{x}=[φ]{q}

{x}=[φ]{q}

所以在新的廣義坐標(biāo){q}表示的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為：

[φ]^T[M][φ]{q}+[φ]^T[K][φ]{q}=[φ]^T]{q}            (5.1.26)

[M]{q}+[K]{x}={}                                  (5.1.27)

上式即為系統(tǒng)的模態(tài)方程。

式中：[M]= [φ]^T[M][φ]        稱為模態(tài)質(zhì)量矩陣

      [K]= [φ]^T[K][φ]       稱為模態(tài)剛度矩陣

對(duì)于[M]、[K]，所有非對(duì)角線上的元素都符合主振型對(duì)質(zhì)量矩陣和剛度矩陣的正交性，所以：

式中：

M_r={A^(r)}^T[m]{A^(r)}       (r=1,2,……n)稱為r階模態(tài)質(zhì)量

K_r={A^(r)}^T[K]{A^(r)}       (r=1,2,……n)稱為r階模態(tài)剛度

對(duì)于同一階模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量和模態(tài)剛度：

將各階固有頻率和相應(yīng)的主振型代入系統(tǒng)的特征值問(wèn)題公式：

將式5.1.30左乘[φ]^T得：

[φ]^T[K][φ]^T=[φ]^T[m][ φ][ω_n²]       （5.1.31）

即[K]=[M][ω_n²]

或K_r=M_r⁽ⁱ⁾nr²                (r=1,2……n)                       （5.1.32）

即ω_m²=K_r/M_r                (r=1，2……n)                        (5.1.33)

上式表明，第r階有頻率平方的值ω_nr²等于第r階模態(tài)剛度K_r與第r階模態(tài)質(zhì)量M_r的比值，由此可見(jiàn)，系統(tǒng)固有頻率隨剛度和質(zhì)量變化的趨勢(shì)，即當(dāng)系統(tǒng)的剛度增加時(shí)，模態(tài)剛度K_r值隨之增加，則ω_nr²值也增加，即固有頻率值提高，反之剛固有頻率值降低。而當(dāng)系統(tǒng)的質(zhì)量增加，模態(tài)質(zhì)量M_r增加，則ω_nr²減少，即固有頻率值降低，反之，固有頻率值提高。

5.2  特征問(wèn)題解法

對(duì)于廣義特征問(wèn)題：

[K]{q}=λ[M]{q}                   (5.1.34)

其中[K]、[M]分別為結(jié)構(gòu)的剛度和質(zhì)量矩陣，{q}為位移列矢量，有時(shí)在工程上判定剛度矩陣[K]的正定性十分重要，則要對(duì)應(yīng)下列標(biāo)準(zhǔn)特征問(wèn)題：

[K]{q}=λ{(lán)q}                   （5.1.35）

對(duì)式5.1.35，若λ_i，則矩陣是正定的：

若λ_i，則矩軸是半正定的；

若有λ_i＜0，也有λ_i＞0，則矩陣是不定的。

對(duì)于剛度矩陣[K]來(lái)說(shuō)，特征值等于0時(shí)，說(shuō)明系統(tǒng)中存在著剛體位移，系統(tǒng)未被完全約束住，0的數(shù)目等于系統(tǒng)中剛體位移的數(shù)目。一般來(lái)講，在進(jìn)行結(jié)構(gòu)靜力、動(dòng)力分析時(shí)，[K]都為實(shí)對(duì)稱、正定矩陣，質(zhì)量矩陣[M]常常是半正定的，只有當(dāng)我們使用一致質(zhì)量矩陣時(shí)，它才是正定的，并且與剛度矩陣有相同的半帶度。

我們?cè)贏POLANS程序里對(duì)疊片進(jìn)行計(jì)算時(shí)，使用的計(jì)算方法子空間迭代算法，它是一種求解廣義特征問(wèn)題局部的q個(gè)特征值及對(duì)應(yīng)特征矢量的方法，它的基本步驟為：

（1）選取初始迭代矢量[X₁]

（2）對(duì)k=1，2……迭代

當(dāng)特征值準(zhǔn)確到25位數(shù)字時(shí)，收斂容差tol應(yīng)為10^-25

（5）在迭代收斂后，利用斯圖姆序列檢驗(yàn)已算出的是否為所要求的特征值和相應(yīng)的特征矢量。若有漏根，是需停止求解，可通過(guò)加大q和減小tol的方法來(lái)繼續(xù)計(jì)算。

5.2  疊片聯(lián)軸器的振動(dòng)模型

由于APOLANS程序的局限性，不能計(jì)算磨擦狀態(tài)下的振動(dòng)問(wèn)題，因而本文所討論的疊片振動(dòng)問(wèn)題將忽略磨擦對(duì)它的影響。我們應(yīng)該以整個(gè)聯(lián)軸器來(lái)進(jìn)行計(jì)算以確定其系統(tǒng)的特性，但由于程序本身的問(wèn)題，不可能整個(gè)系統(tǒng)分毫不差地組成計(jì)算模型，因而必須對(duì)整個(gè)系統(tǒng)進(jìn)行簡(jiǎn)化，當(dāng)然，如何簡(jiǎn)化才是適當(dāng)?shù)膶?duì)計(jì)算結(jié)果的正確性影響很大。

由第二章所示撓性疊片聯(lián)軸器的結(jié)構(gòu)可知，兩端法蘭盤（連接主、從傳動(dòng)軸）均可看做是剛固的，而中間軸法蘭a可看做是加在兩組疊片上的質(zhì)量塊。

設(shè)中間軸質(zhì)量為m，則加在左邊一組的質(zhì)量為m/2，設(shè)一組疊片數(shù)為n片，在這里我們知道以疊片組中單片特性來(lái)進(jìn)行強(qiáng)度分析與實(shí)際是較為符合的，這說(shuō)明疊片組的剛度陣和質(zhì)量陣與每一片的剛度陣和質(zhì)量陣是相同的。而振動(dòng)分析時(shí)是在強(qiáng)度分析的基礎(chǔ)上加阻尼陣和外力矩陣，因而在忽略阻尼的情況下可以借用強(qiáng)度模型，只不過(guò)要將集中質(zhì)量化到單片上去，這樣每片所需加的集中質(zhì)量為m/2n。

在實(shí)際工程中，我們進(jìn)行振動(dòng)分析是為了得到聯(lián)軸器振動(dòng)時(shí)的頻率以避開(kāi)共振區(qū)，而兩疊片組上對(duì)應(yīng)疊片上的位移大小相等，方向相同或相反，即振動(dòng)時(shí)兩疊片組的位移關(guān)于中間軸的中垂面是對(duì)稱或反對(duì)稱的，反對(duì)稱與對(duì)稱雖然振型不同，但它們的頻率是相等的，因此選取振動(dòng)的對(duì)稱模型來(lái)計(jì)算疊片聯(lián)軸器的振頻和振型，雖然這樣會(huì)漏掉部分反對(duì)稱振型，但不會(huì)漏掉振頻，可以達(dá)到我們關(guān)注共振問(wèn)題的目的。

5.3  算例

我們延用強(qiáng)度模型的算例，用上述模型算得其在沒(méi)有載荷時(shí)的1-6階振頻(見(jiàn)下表)，另外，我們還可以通過(guò)程序的動(dòng)畫功能看到各階振動(dòng)模態(tài)的形式，由此可知1階振動(dòng)頻率最低2階和3階、4階和5階的振頻雖然相等，但橫態(tài)不同，1、3階的振動(dòng)雖然類似，但其隨著階數(shù)的增加振動(dòng)波數(shù)增多即駐點(diǎn)增多，模態(tài)也不同，

振頻階數(shù)	1	2	3	4	5	6
頻率Hz	97.1	157.9	157.9	159.3	159.3	160.2

對(duì)模型進(jìn)行動(dòng)頻分析時(shí)，先加上各種載荷進(jìn)行非線性靜力分析，再在非線性靜力分析的基礎(chǔ)上進(jìn)行頻率分析即可行到模型的動(dòng)頻。下表為傳遞功率30KW，軸向位移為2mm，角向位移為1.5時(shí)和各階頻率。由此可知加載后，模型由于變形而使剛度增大，則振頻也增加。

振頻階數(shù)	1	2	3	4	5	6
頻率Hz	124.6	183.3	183.3	195.5	195.5	201.1

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