第五章 鼓形齒聯(lián)軸器參數(shù)優(yōu)化
影響鼓形齒聯(lián)軸器承載能力和工作壽命因素較多,如齒輪參數(shù)、制造質(zhì)量、材料及熱處理、潤滑條件等等。齒輪參數(shù)的設(shè)計(jì)是其中非常重要的一個(gè)方面。由于缺乏對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器機(jī)理的研究,現(xiàn)在使用的齒輪參數(shù)的設(shè)計(jì)沒有可靠的依據(jù),設(shè)計(jì)計(jì)算比較粗略。通過前一章對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器的深入的嚙合和力學(xué)機(jī)理研究,我們可以對(duì)齒輪參數(shù)的影響加以討論,建立適當(dāng)?shù)膮?shù)優(yōu)化模型,求解出最優(yōu)的鼓形齒聯(lián)軸器參數(shù),為經(jīng)濟(jì)可靠地設(shè)計(jì)長壽命鼓形齒聯(lián)軸器提供依據(jù)。
5.1 鼓形齒輪鼓度曲線的優(yōu)化
由第四章的分析知,共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器具有較好的傳動(dòng)特性,其嚙合重合度大,線接觸嚙合,無齒面曲率干涉,等速傳動(dòng)等。因而接觸強(qiáng)度高,無附加動(dòng)載荷。共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器的鼓形齒輪可采用“雙分齒切齒法”加工[116],但由于該方法所用附加裝置結(jié)構(gòu)剛性較差,因此不適宜于加工較大模數(shù)的鼓形齒輪。非共軛齒面鼓形齒輪是在不同軸載面上采用不同變位系數(shù)形成齒面的,其變位量與軸向坐標(biāo)的關(guān)系曲線就是鼓度曲線,它可以在經(jīng)改裝后的滾齒機(jī)上加工,加工范圍不受工藝裝備限制。但是根據(jù)前面分析知,傳統(tǒng)的圓弧鼓度曲線的鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)特性較差。因此,對(duì)鼓度曲線進(jìn)行優(yōu)化,使非共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器具有更優(yōu)良的傳動(dòng)特性,是鼓形齒聯(lián)軸器參數(shù)優(yōu)化的一個(gè)重要內(nèi)容。
由于共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器具有最佳的傳動(dòng)特性,因此將非共軛齒面與共軛齒面進(jìn)行曲面逼近,所得到的非共軛齒面無疑是最佳的。
5.1.1 坐標(biāo)系及坐標(biāo)變換
坐標(biāo)系及坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系與3.3.4.1所給相同。
5.1.2 共軛齒面鼓形齒輪齒面方程
共軛齒面鼓形齒輪齒面在S20坐標(biāo)系的方程在第三章已推出為
式中各量與前述相同。
5.1.3 非共軛齒面鼓形齒輪齒面方程
與第四章的非共軛齒面鼓形齒輪齒面方程推導(dǎo)類似,可以得出其齒面方程在S20坐標(biāo)系的方程為
式中 β1=π/(2z)+2δtgα/(mz)+tgα-α+(2xr1tgα+xτ1)/z;δ為鼓形變位量,由不同軸截面上δ值擬合出的曲線即為鼓度曲線。其余各量與前述相同。
5.1.4 鼓形變位量δ的求解
數(shù)學(xué)方法上,兩曲面的逼近是“極大極小問題”,雖已有這方面的理論探討,但還沒有成熟的計(jì)算軟件。本文采用截面曲線逼近的方法(如圖5-1所示),將軸向坐標(biāo)離散,求得各截面上曲線逼近的δ值,再根據(jù)δ值的軸向分布形態(tài),確定擬合的函數(shù)形式,以最小二乘法擬合出鼓度曲線。
1.各截面上δ值的求解
先假設(shè)δ為零,在共軛和非共軛鼓形齒輪上截取與中截面等距離的軸截面,將兩種齒面的軸截面疊合,此時(shí),齒面與截取面的兩條交線不重合;以齒面與截取面的兩條交線相切為目標(biāo)進(jìn)行一維搜索計(jì)算,即可求得此截面上的δ值。在齒寬不同位置分別進(jìn)行計(jì)算,即可求得一系列關(guān)于δ與軸向坐標(biāo)的離散點(diǎn)坐標(biāo)值。
2.鼓度曲線的擬合
通過對(duì)不同參數(shù)鼓形齒輪的曲面逼近計(jì)算,得到多組關(guān)于δ與軸向距離的離散坐標(biāo)值。由離散點(diǎn)的分布形態(tài)及最小二乘法擬合計(jì)算知[119],擬合成雙曲線的誤差最小。優(yōu)化鼓度曲線及其坐標(biāo)如圖5-2所示,擬合雙曲線方程為
式中 a——雙曲線的漸近線斜率;
b——雙曲線頂點(diǎn)與分度圓柱線的距離。
由(5-1-1)式和(5-1-2)式,根據(jù)上述方法,可編制優(yōu)化鼓度曲線參數(shù)的計(jì)算程序,用該程序,只需輸入鼓形齒聯(lián)軸器參數(shù),便可計(jì)算出優(yōu)化鼓度曲線的曲線參數(shù)a和b。根據(jù)多組參數(shù)計(jì)算發(fā)現(xiàn),雙曲線的漸近線斜率a=tgθ/tgα,與其他齒輪參數(shù)無關(guān);雙曲線頂點(diǎn)與分度圓柱線的距離b與各齒輪參數(shù)有關(guān),但關(guān)系較復(fù)雜,因此該參數(shù)直接由優(yōu)化計(jì)算程序得出。
文獻(xiàn)[77]采用計(jì)算機(jī)交互圖像技術(shù)進(jìn)行數(shù)值分析和綜合,精度受到一限制,也未給出定量解,其定性分析結(jié)果與本文的結(jié)果較接近。
5.1.5 運(yùn)動(dòng)分析
由第四章所給出的內(nèi)齒輪齒面方程(4-1-3)式及優(yōu)化鼓度曲線的鼓形外齒輪齒面方程,運(yùn)用非共軛鼓形齒聯(lián)軸器運(yùn)動(dòng)分析方法,可進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析。將式(5-1-3)的δ代入(5-1-2)式的β1中,可得優(yōu)化鼓度曲線鼓形齒輪齒面方程為
式中
對(duì)相同齒輪參數(shù)的優(yōu)化鼓度曲線和圓弧鼓度曲線鼓形齒輪聯(lián)軸器在相同的軸交角下進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析計(jì)算,得出的對(duì)比數(shù)據(jù)如表5-1所給。從這兩組數(shù)據(jù)可以看出,在存在工作軸間傾角下,優(yōu)化鼓度曲線的△φmax(°)比圓弧鼓度曲線的△φmax(°)有大幅度的減小!鳓max(°)值反映了鼓形齒聯(lián)軸器運(yùn)動(dòng)的非勻速程度、實(shí)際嚙合對(duì)數(shù)多少及嚙合齒對(duì)的載荷分配情況!鳓max(°)越小,非勻速程度越小、實(shí)際嚙合齒對(duì)數(shù)越多、載荷分配越均勻。因此,由嚙合運(yùn)動(dòng)分析可以看出,優(yōu)化鼓度曲線的鼓形齒聯(lián)軸器比圓弧鼓度曲線鼓形齒聯(lián)軸器的嚙合特性有很大的改善。而且在經(jīng)數(shù)控化改造后的滾齒機(jī)上,加工優(yōu)化鼓度曲線的鼓形齒輪也非常方便。因此,鼓形齒輪鼓度曲線的優(yōu)化是改善鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)特性、提高其工作壽命的有效而可行的重要途徑。
表5-1 嚙合最大差角△φmax(°)
鼓形齒輪參數(shù) |
軸交角 |
圓弧鼓度曲線 |
優(yōu)化鼓度曲線 |
m=3mm z=56 位移圓半徑 rg=131.0mm 雙曲線參數(shù)a=0.072 b=0.060 |
1.5° |
0.090816 |
0.009631 |
1.0° |
0.040444 |
0.008722 |
0.5° |
0.010121 |
0.002179 |
m=12mm z=48 位移圓半徑 rg=333.5mm 雙曲線參數(shù)a=0.072 b=0.111 |
1.5° |
0.067077 |
0.019598 |
1.0° |
0.030581 |
0.008707 |
0.5° |
0.007566 |
0.002176 |
5.2 齒輪參數(shù)對(duì)鼓形齒聯(lián)軸器傳動(dòng)特性的影響
5.2.1 模數(shù)和齒數(shù)
齒輪的模數(shù)由輪齒彎曲強(qiáng)度所決定。模數(shù)越大,齒根厚度越大。輪齒的彎曲強(qiáng)度越高。對(duì)于傳遞一定力矩的鼓形齒聯(lián)軸器,標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定了其外部尺寸,即確定了齒輪的徑向和軸向尺寸。由鼓形齒聯(lián)軸器重合度分析知,分度圓直徑一定時(shí),減小模數(shù)、增大齒數(shù),可以提高重合度,因此應(yīng)在滿足彎曲強(qiáng)度條件下,選用較小的模數(shù)。齒數(shù)應(yīng)取為2的倍數(shù),因?yàn)閺膰Ш戏治鲋瑖Ш系氖芰顟B(tài)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的,齒數(shù)為2的倍數(shù)有利于受力的平衡。另外,對(duì)于內(nèi)齒輪,還要求齒頂圓直徑大于基圓直徑,即
若采用正變位齒輪,其齒數(shù)可小于上述值。
5.2.2 齒高系數(shù)
齒高系數(shù)越大,重合度越大,但齒高系數(shù)的增大對(duì)重合度增大的影響較小。從齒面接觸線形態(tài)看,增加齒高有利于提高接觸強(qiáng)度。齒高增加,齒面滑動(dòng)系數(shù)增加。因此總的來看不宜以增加齒頂高系數(shù)來增加重合度。
鼓形齒聯(lián)軸器中,外齒輪齒頂高系數(shù)為ha1*,其齒根高系數(shù)為hf1*=ha1*+c1*;內(nèi)齒輪齒頂高系數(shù)為ha2*,其齒根高系數(shù)為hf2*=ha2*+c2*,且hf2*=ha1*,在我國現(xiàn)行產(chǎn)品中有ha1*=1、hf1*=1.25、ha2*=0.8、hf2*=1和ha1*=0.8、hf1*=1.05、ha2*=0.8、hf2*=0.8兩種。
5.2.3 壓力角
分度圓壓力角對(duì)輪齒曲率、齒根和齒頂厚度及法線方向有影響,因而也對(duì)嚙合時(shí)的誘導(dǎo)法曲率、齒面滑動(dòng)率、重合度、齒面作用力及輪齒接觸應(yīng)力和彎曲應(yīng)力有影響。增大壓力角,誘導(dǎo)法曲率減小、接觸強(qiáng)度提高;齒根厚度增大,彎曲強(qiáng)度提高;齒面滑動(dòng)率減小,改善了磨損;重合度減小,但相對(duì)減小量不大;法向力增大。考慮到市場上能方便地買到齒輪刀具,我國目前一般采用α=20°。
5.2.4 變位系數(shù)
鼓形齒聯(lián)軸器是等齒數(shù)的交錯(cuò)軸內(nèi)外齒輪傳動(dòng),因此只能采用等徑向變位(即xr1=xr2)。采用正的徑向變位與增大壓力角有類似的影響,但采用徑向變位比改變壓力角在加工上更容易實(shí)現(xiàn),因?yàn)楦淖儔毫切栌脤S玫牡毒。采用切向變位可以改變?nèi)外齒輪的齒厚,但不影響其他嚙合特性,鼓形齒聯(lián)軸器的嚙合側(cè)隙就是采用切向變位來保證的。
5.2.5 齒寬系數(shù)
齒寬系數(shù)影響輪齒的齒根彎曲強(qiáng)度和接觸強(qiáng)度,齒寬系數(shù)大,兩項(xiàng)強(qiáng)度值越大。齒寬系數(shù)影響重合度,在齒寬系數(shù)小于一定值范圍時(shí),其值的增大對(duì)重合度增加影響較大,而在大于這個(gè)一定值時(shí),其值的增大對(duì)重合度增加影響較。ㄒ妶D4-4b)。對(duì)于圓弧鼓度曲線的鼓形齒聯(lián)軸器,齒寬還是確定鼓度半徑和側(cè)隙的參數(shù),齒寬越大,鼓度圓弧半徑越大,所需的側(cè)隙也越大。因此,在齒根彎曲強(qiáng)度和齒面接觸強(qiáng)度足夠的條件下應(yīng)以有較大的重合度來確定齒寬,不應(yīng)盲目增加齒寬,以免使結(jié)構(gòu)尺寸不必要地增加。一般取齒寬系數(shù)ψB=8~14。最小齒寬應(yīng)由允許的齒根應(yīng)力來確定,還要考慮由軸間傾角引起的著力點(diǎn)沿齒寬位移所需的寬度。
5.3 齒輪參數(shù)的優(yōu)化
齒輪參數(shù)的優(yōu)化是一個(gè)多目標(biāo)的問題,一方面希望有最小的結(jié)構(gòu)尺寸,另一方面希望有足夠的強(qiáng)度及最佳的嚙合特性。由于鼓形齒聯(lián)軸器標(biāo)準(zhǔn)中已規(guī)定了外部尺寸,故本問題優(yōu)化的關(guān)鍵是在一定的結(jié)構(gòu)尺寸下確定內(nèi)部齒輪參數(shù)的優(yōu)化值,使其具有最佳的承載能力和最長的工作壽命。鼓形齒聯(lián)軸器的失效形式,主要是外齒輪齒面磨損后輪齒折斷失效,因此,增加外齒輪齒厚,提高其齒根彎曲強(qiáng)度和減少齒面磨損是提高鼓形齒聯(lián)軸器承載能力和工作壽命的關(guān)鍵。
一般鼓形齒聯(lián)軸器的齒頂高系數(shù)ha1*=1,徑向間隙系數(shù)c1*=0.25,全齒高h(yuǎn)=2.25m,采用標(biāo)準(zhǔn)齒輪,其內(nèi)外齒輪分度圓齒厚大致相等。它的主要優(yōu)點(diǎn)是內(nèi)外齒輪加工工藝性好,可采用標(biāo)準(zhǔn)齒輪滾刀和插齒刀進(jìn)行加工,且尺寸計(jì)算簡單。但是這種鼓形齒聯(lián)軸器的外齒輪齒根抗彎強(qiáng)度比內(nèi)齒輪齒根抗彎強(qiáng)度要低,即內(nèi)齒輪齒根彎曲強(qiáng)度有富余。因此,可設(shè)法增加外齒輪齒厚,提高外齒輪齒根彎曲強(qiáng)度。通常采用兩種方法:一是采用特殊刀具減簿內(nèi)齒輪齒厚而增加外齒輪齒厚,使內(nèi)外齒輪的抗彎強(qiáng)度接近一致;另一種方法是采用變位短厚齒型內(nèi)外齒輪,降低外齒輪齒高,加大外齒輪齒厚,使其粗短,以提高外齒輪的抗彎強(qiáng)度[75]。前一種方法需采用專用的瘦齒型滾刀,這給加工帶來不少麻煩,因此在國內(nèi)不宜推廣。文獻(xiàn)[75]所出了一種變位短厚齒型鼓形齒聯(lián)軸器的設(shè)計(jì)制造方法,由于是采用標(biāo)準(zhǔn)滾刀和插齒刀進(jìn)行加工,加工方法簡單易行,因此工藝性好,生產(chǎn)效率高,是一種較理想的適宜推廣應(yīng)用的設(shè)計(jì)加工方法。但是,該文提出采用齒頂高系數(shù)ha1*=0.8不一定合理,因?yàn)辇X頂高系數(shù)的確定一方面要使內(nèi)外齒輪齒根彎曲強(qiáng)度一致,另一方面又要使內(nèi)外齒輪齒面具有足夠的接觸強(qiáng)度及內(nèi)齒輪齒頂厚應(yīng)大于0.25m。因此必須建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型進(jìn)行計(jì)算來確定。將內(nèi)外齒輪輪齒簡化成懸臂梁受力(如圖5-3所示)[127],本問題是要使內(nèi)外齒輪齒根有接近的齒根彎曲強(qiáng)度,則目標(biāo)函數(shù)為
min(σF1-σF2)2
式中 σF1——外齒輪齒根彎曲應(yīng)力
σF2——內(nèi)齒輪齒根彎曲應(yīng)力
設(shè)齒形角α=20°,頂隙系數(shù)c1*=0.25,模數(shù)齒數(shù)為給定值,根據(jù)這種短厚齒的加工原理是減少滾刀的切入量,使其齒高系數(shù)減小,這也相當(dāng)于使用齒厚減簿的滾刀來滾切鼓形外齒輪,即相當(dāng)于采用了切向變位加大齒厚。其切向變位系數(shù)xτ1與齒高系數(shù)的關(guān)系為xτ1=2(hao*-hf1*)tgα,式中hao*為滾刀的齒頂高系數(shù),通常hao*=1.25,hf1*為被切外齒輪齒根高系數(shù),hf1*=ha1*+c1*。為了滿足聯(lián)軸器軸間傾角的要求,除外齒輪有一定的鼓度外,內(nèi)外齒之間還應(yīng)有一定的齒間側(cè)隙jn,此側(cè)隙可按一定的原則分配到內(nèi)外齒輪齒厚上,使它們有相應(yīng)的減簿量?紤]加工的因素及總的要求是減簿內(nèi)齒輪齒厚、增大外齒齒厚,因此將jn全部分配在內(nèi)齒輪上,則內(nèi)齒輪切向變位系數(shù)
xτ2=2(hao*-hf1*)tgα+jn/cosα;jn采用以下公式計(jì)算[120]
jn=2(rg/tgα-mz/2)(1-cosθ)cosα
式中 rg——鼓度圓弧半徑
對(duì)于z≥2(ha*+c*)/(1-cosα)的外齒輪齒根圓弦齒厚f1可近似用下式計(jì)算[121]
內(nèi)齒輪齒根圓弦齒厚f2可近似用下式計(jì)算
對(duì)齒式聯(lián)軸器,取hf2*=ha1*、xr2=xr1。
設(shè)外齒輪齒寬為B,則內(nèi)齒輪齒寬為1.2B,因此有
式中B、m、Fn、Fn′、α為常數(shù),因此目標(biāo)函數(shù)可寫成
約束條件為Sa2≥0.25m,式中Sa2為內(nèi)齒輪齒頂圓齒厚,即有
由目標(biāo)函數(shù)(5-3-1)式及約束條件(5-3-2)式便構(gòu)成本問題的優(yōu)化數(shù)學(xué)模型。通過對(duì)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的求解,可以計(jì)算出不同齒模數(shù)及相應(yīng)的鼓度半徑下的優(yōu)化齒頂高系數(shù)值。表5-2給出了幾種不同輸入?yún)?shù)下的求解值,從表中數(shù)據(jù)可以看出,不同齒數(shù)及鼓度半徑,其優(yōu)化齒頂高系數(shù)不同,但都不超過0.7?紤]到齒頂高系數(shù)的統(tǒng)一,建議采用齒頂高系數(shù)為0.7是適宜的。值得指出的是,這種齒頂高系數(shù)的齒輪是采用標(biāo)準(zhǔn)齒頂高系數(shù)滾刀和插齒刀用特殊方法進(jìn)行加工的。
表5-2 優(yōu)化齒頂高系數(shù)值(α=20° m=3mm)
鼓形齒參數(shù)(θ=1.5°) |
齒頂高系數(shù) |
鼓形齒參數(shù)(θ=2.0°) |
齒頂高系數(shù) |
齒數(shù)z |
鼓度半徑rg(mm) |
ha* |
齒數(shù)z |
鼓度半徑rg(mm) |
ha* |
40 |
94.073 |
0.5874 |
40 |
70.561 |
0.5997 |
48 |
112.888 |
0.6247 |
48 |
84.673 |
0.6398 |
56 |
131.702 |
0.6555 |
56 |
98.786 |
0.6736 |
鼓形齒聯(lián)軸器的齒數(shù)模數(shù)決定了其徑向結(jié)構(gòu)尺寸大小。對(duì)于優(yōu)化鼓度曲線的鼓形齒聯(lián)軸器,其嚙合特性與共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器相近,因此我們可以依據(jù)共軛齒面鼓形齒聯(lián)軸器特性來考慮齒數(shù)模數(shù)的參數(shù)優(yōu)化問題。圖5-4給出了相同齒輪分度圓直徑和齒寬條件下取不同模數(shù)齒數(shù)時(shí)的重合度曲線,從曲線可以看出相同齒輪分度圓直徑和齒寬條件下,所取齒數(shù)越多,則重合度越大。重合度越大,平均每對(duì)齒承受的載荷越小,多齒嚙合過渡狀態(tài)載荷分配的變化量越小,傳動(dòng)越平穩(wěn)。因此總的模數(shù)齒數(shù)的選取原則是盡可能選大的齒數(shù)。但是相同齒輪分度圓直徑條件下,齒數(shù)越大,模數(shù)越小。模數(shù)的減小將降低齒根彎曲強(qiáng)度;另外,由齒面接觸線形態(tài)知,模數(shù)的減小也將降低齒面接觸強(qiáng)度。為保證有足夠的齒根彎曲強(qiáng)度和齒面接觸強(qiáng)度,應(yīng)由所傳遞的轉(zhuǎn)矩和許用應(yīng)力值,先計(jì)算出所允許的最小模數(shù),再根據(jù)這個(gè)模數(shù)值及分度圓直徑來確定齒數(shù)。由于使用中磨損是不可避免的,因此,選取模數(shù)時(shí)還應(yīng)考慮輪齒齒厚有一定的裕量,保證在一定的磨損程度下仍有足夠的強(qiáng)度。另外,模數(shù)的選取還應(yīng)考慮工藝條件的許可。這些內(nèi)容包含較多的經(jīng)驗(yàn)成份,在此不予詳細(xì)討論。
鼓形齒聯(lián)軸器的參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)是以深入的嚙合特性機(jī)理分析為基礎(chǔ)的,它必將為新型長壽命鼓形齒聯(lián)軸器的設(shè)計(jì)提供重要的理論依據(jù)。
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