第3章 彈性聯(lián)軸器運(yùn)動(dòng)與動(dòng)力特性
3.1 彈性聯(lián)軸器的剛度和阻尼
彈性聯(lián)軸器由于具有能產(chǎn)生較大彈性變形和阻尼作用的彈性元件,因此除能補(bǔ)償兩軸相對(duì)位移外,還能起緩沖和吸振的作用。彈性聯(lián)軸器能適應(yīng)載荷的波動(dòng),所以其應(yīng)用較廣,類型也較多。這種聯(lián)軸器的緩沖和吸振性能主要與其剛度和阻尼有關(guān)。
聯(lián)軸器的剛度可分為徑向剛度、周向剛度和扭轉(zhuǎn)剛度。由于載荷變化多數(shù)以扭矩波動(dòng)形式出現(xiàn),由此引起的振動(dòng)也是以扭轉(zhuǎn)振動(dòng)為主,所以聯(lián)軸器最主要的剛度是扭轉(zhuǎn)剛度。扭轉(zhuǎn)剛度易產(chǎn)生單位扭轉(zhuǎn)變形所需的扭矩表示。通常,由于傳動(dòng)軸系中其它零件的剛度都比彈性聯(lián)軸器的剛度大得多。所以為了簡化起見,其它零件的彈性可以略去不計(jì)。僅考慮聯(lián)軸器彈性,并根據(jù)這一情況以聯(lián)軸器的剛度作為傳動(dòng)軸系的剛度。
剛度可用下式表示:
C=T/ (3-1)
式中 T——聯(lián)軸器傳遞的扭矩;
——在扭矩作用下兩半聯(lián)軸器的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角。
當(dāng)軸系接近發(fā)生共振時(shí),剛度隨扭矩增大而增大,改變傳動(dòng)軸系的固有頻率與振動(dòng)頻率之間的關(guān)系,就能避開共振。
彈性聯(lián)軸器在傳遞不穩(wěn)定扭矩的過程中,彈性元件的彈性變形隨扭矩的改變而增減。由于變形的不穩(wěn)定,在彈性元件相對(duì)運(yùn)動(dòng)的接觸表面上產(chǎn)生外摩擦,同時(shí)在彈性元件內(nèi)部還存在內(nèi)摩擦。這些摩擦將吸收一部分動(dòng)能轉(zhuǎn)化為熱能,使溫度升高。這就是聯(lián)軸器的阻尼作用。阻尼作用能實(shí)現(xiàn)緩沖和衰減振動(dòng)。聯(lián)軸器的阻尼性能可以用阻尼系數(shù)表示。它是每一次載荷循環(huán)中產(chǎn)生的阻尼能和儲(chǔ)存在扭轉(zhuǎn)彈性元件中的變形能之比,即ф=Wd/We。在振動(dòng)運(yùn)動(dòng)微分方程中,粘滯阻力系數(shù)用γ來表示,它與阻尼系數(shù)之間的關(guān)系為γ=,ω為振動(dòng)頻率或繞動(dòng)力矩變化頻率。阻尼系數(shù)大,由于摩擦而消耗的能量就多,反之,阻尼系數(shù)小,由于摩擦而消耗的能量就少。
彈性聯(lián)軸器一般都有緩沖和吸振功能,但是具有某一定值彈性的聯(lián)軸器,并不是在任意的變扭矩作用下都能產(chǎn)生減振的效果,有時(shí)反而會(huì)引起更強(qiáng)烈的振動(dòng)。其原因不在于此聯(lián)軸器的剛度大小?梢姡挥袆偠群驼麄(gè)傳動(dòng)軸系的其他參數(shù)和載荷協(xié)調(diào)時(shí),才能產(chǎn)生減振效果。因此,必須根據(jù)課題條件,通過計(jì)算來定出聯(lián)軸器的剛度。
3.2 周期性載荷作用下的動(dòng)力特性計(jì)算
對(duì)于某一已定的傳動(dòng)軸系,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和固有頻率可由計(jì)算求得,如果已知所傳扭矩的變化規(guī)律,如振幅和頻率等,就能建立起軸系在扭轉(zhuǎn)振動(dòng)式的運(yùn)動(dòng)微分方程,對(duì)該方程求解,即可得到所需的聯(lián)軸器的剛度。
為了便于求解運(yùn)動(dòng)微分方程,需要對(duì)傳動(dòng)軸系中聯(lián)軸器的主動(dòng)和從動(dòng)兩側(cè)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剛度作力學(xué)模型的簡化。根據(jù)具體結(jié)構(gòu)情況,可以將軸系簡化為若干個(gè)等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量圓盤,以具有某一剛度的周聯(lián)系起來。通常比較典型的是簡化為兩個(gè)等效的圓盤,配置在聯(lián)軸器的兩側(cè)。并設(shè)定所聯(lián)兩軸的剛性很大,只有聯(lián)軸器具有彈性和阻尼。如圖3.1所示
設(shè)定主動(dòng)軸與圓盤1以恒扭矩經(jīng)聯(lián)軸器帶動(dòng)從動(dòng)軸上的圓盤2,而在從動(dòng)圓盤上有按簡諧規(guī)律變化的擾動(dòng)扭矩分量。此時(shí),根據(jù)動(dòng)量矩定理,按聯(lián)軸器兩側(cè)力矩平衡條件,可以分別列出兩圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)方程式,即系統(tǒng)扭振的微分方程為:
I1+r+C=0 (3-2)
I2- r- C+Td2sinωt=0 (3-3)
式中 ,——主從動(dòng)圓盤的轉(zhuǎn)角
——兩圓盤的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角
I1,I2——主、從動(dòng)軸上圓盤的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
,——主、從動(dòng)軸的角速度
,——主、從動(dòng)軸的角加速度
C——聯(lián)軸器的剛度
r——聯(lián)軸器粘滯阻力系數(shù)
Td2sinωt——從動(dòng)軸圓盤上的擾動(dòng)扭矩
以上兩式合并得到二階常系數(shù)線性非其次微分方程
上式的解由兩部分組成,即對(duì)應(yīng)的其次方程的通解和本方程的特解。經(jīng)運(yùn)算后可得到聯(lián)軸器所受的諧振扭矩為:
當(dāng)sin(ωt+α)=l時(shí),表示諧振扭矩達(dá)到最大值:
由上式可知,在有阻尼的受迫振動(dòng)中,經(jīng)連軸器傳遞振動(dòng)扭矩的振幅,主要與動(dòng)力放大系數(shù)和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)。當(dāng)擾動(dòng)扭矩作用一側(cè)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大于另一側(cè)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí),可以減小振動(dòng)扭矩的振幅。反之,對(duì)減小振動(dòng)扭矩振幅的作用不大。動(dòng)力放大系數(shù)對(duì)振動(dòng)扭矩振幅的影響與阻尼系數(shù)、擾動(dòng)扭矩的變化頻率及軸系固有頻率的比值等有關(guān)。當(dāng)阻尼系數(shù)一定時(shí),振動(dòng)扭矩的振幅僅與軸系的固有頻率有關(guān),即與聯(lián)軸器的剛度有關(guān)。
以下分幾種不同的擾動(dòng)扭矩變化頻率與軸系固有頻率的比值,分析對(duì)振動(dòng)扭矩振動(dòng)的影響。為了簡便起見,不計(jì)阻尼系數(shù),即項(xiàng)等于零。
(l)當(dāng)=0,或,動(dòng)力放大系數(shù)Kd=1。
這表示經(jīng)聯(lián)軸器的振動(dòng)扭矩沒有放大,前一種情況相當(dāng)于沒有擾動(dòng)扭矩,或者可認(rèn)為軸系的固有頻率為無限大,即聯(lián)軸器為絕對(duì)剛性體,其剛度C無限大。后一種情況表示聯(lián)軸器具有一定的剛度,軸系的固有頻率與擾動(dòng)扭矩的變化頻率的比值剛好為。
(2)當(dāng)0<<時(shí),動(dòng)力放大系數(shù)Kd總大于1。
表示在該擾動(dòng)扭矩的變化頻率下,聯(lián)軸器的剛度還太大,而彈性不夠,不能起到減振的作用,以致使經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的振動(dòng)扭矩增大。若=1,則Kd=∞,這表明經(jīng)過聯(lián)軸器傳遞振動(dòng)扭矩的振幅達(dá)到無限大,也就是說,軸系發(fā)生扭轉(zhuǎn)共振。此時(shí)如有阻尼存在,則動(dòng)力放大系數(shù)為Kd=
即不會(huì)使扭轉(zhuǎn)振動(dòng)的振幅無限增大。但是通常都是大于1,因此即使有阻尼,扭振還是存在,阻尼對(duì)傳動(dòng)系統(tǒng)的影響程度,完全取決阻尼系數(shù)的大小。
(3)當(dāng)>時(shí),動(dòng)力放大系數(shù)Kd<1。
表示只有在固有頻率為擾動(dòng)扭矩的變化頻率的倍時(shí),彈性聯(lián)軸器才能起到減振的效果。頻率比值>>,意即采用剛度很小的彈性聯(lián)軸器,這樣動(dòng)力放大系數(shù)可降到很小值,這對(duì)減振的效果最好,但是卻過分降低了聯(lián)軸器的承載能力。此外當(dāng)比值過分大時(shí),也有可能與較高一階的共振頻率接近,仍會(huì)引起共振。因此,聯(lián)軸器的剛度也不宜過分小。
3.3 沖擊載荷作用下的動(dòng)力特性
機(jī)械可能受到周期性的擾動(dòng)扭矩作用而引起軸系振動(dòng),也可受非周期性的擾動(dòng)扭矩作用而引起軸系振動(dòng)。例如有沖擊載荷引起的軸系振動(dòng)。在許多機(jī)械上,比較常見的是沖擊式作用的變載荷。對(duì)于從動(dòng)軸上作用有常量沖擊載荷的情況,與前述情況相似,仍可通過根據(jù)沖擊載荷條件列出的運(yùn)動(dòng)方程,得到在常量沖擊載荷作用下的物阻尼系統(tǒng)。有沖擊載荷產(chǎn)生的扭轉(zhuǎn)角為:
上式表明軸系有沖擊載荷作用時(shí),經(jīng)聯(lián)軸器傳遞振動(dòng)扭矩的大小,除與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量有關(guān)外,還與沖擊載荷作用的時(shí)間長短有關(guān)。以下為按沖擊載荷作用時(shí)間的長、短的兩種情況:
1.沖擊載荷突然作用后,在長時(shí)間內(nèi)保持不變,這樣的承載方式相當(dāng)于機(jī)械先空載起動(dòng),然后在滿載條件下工作。此時(shí)經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的總扭矩為
T1=T0+Td2(1-cosft) (3-9)
式中T0經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的穩(wěn)定扭矩,Td2表示作用在從動(dòng)軸上的沖擊扭矩,當(dāng)t=時(shí),經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的扭矩達(dá)到最大值:
上式表明,如果發(fā)生沖擊扭矩一側(cè)軸上的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量較小,經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的扭矩接近于沖擊扭矩的2倍,聯(lián)軸器的振動(dòng)周期T為:
在沖擊載荷作用下,聯(lián)軸器的彈性高低,對(duì)沖擊載荷引起,經(jīng)聯(lián)軸器傳遞最大扭矩的幅值并無影響。只是改變振動(dòng)周期的長短。聯(lián)軸器的彈性愈高,固有頻率愈低,經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的扭矩達(dá)到最大值的時(shí)間就愈長。因此,聯(lián)軸器的彈性對(duì)改善傳遞扭矩的平穩(wěn)性有利。影響聯(lián)軸器傳遞的扭矩最大值的因素之一,就是聯(lián)軸器兩側(cè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的比值。當(dāng)沖擊載荷作用一側(cè)軸系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大于另一側(cè)軸系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量時(shí),就能減小經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的振動(dòng)扭矩值。此外,當(dāng)聯(lián)軸器具有阻尼時(shí),由于阻尼消耗了一部分沖擊能量,也可減小最大扭矩。
2.沖擊載荷突然增加后,只持續(xù)一段較短的時(shí)間t1就恢復(fù)正常值。當(dāng)沖擊載荷持續(xù)作用的時(shí)間t1≥,即持續(xù)時(shí)間大于或等于固有頻率的周期的一半時(shí),經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的扭矩仍然有時(shí)間達(dá)到最大值。因此,這種短時(shí)受沖擊載荷與沖擊載荷增加后在較長時(shí)間內(nèi)保持不變的情況一樣,在0<t<t1這一時(shí)間內(nèi),經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的扭矩,當(dāng)不計(jì)阻尼時(shí),仍可用(3-1)計(jì)算。只有當(dāng)沖擊載荷作用時(shí)間t1<,才是屬于突然的短時(shí)間受沖擊載荷。此時(shí)經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的振動(dòng)扭矩仍可按上述方法得出有關(guān)計(jì)算式。
當(dāng)時(shí)間區(qū)間為O≤t≤t1時(shí)(即沖擊載荷開始作用至消失時(shí)的時(shí)間)由沖擊載荷引起的兩半聯(lián)軸器的相對(duì)扭轉(zhuǎn)角為:
這與(3-9)相同,對(duì)于t≥t1,即在沖擊載荷消失之后的某一時(shí)刻,以上兩式轉(zhuǎn)化成
如下形式:
因沖擊載荷引起的兩半聯(lián)軸器相對(duì)扭轉(zhuǎn)角:
由式(3-10)可知,在短時(shí)沖擊載荷作用下,聯(lián)軸器傳遞的最大扭矩隨t1與f之間的關(guān)系而變。例如
由此可見,隨著沖擊載荷作用時(shí)間的縮短,經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的最大扭矩也隨著減小。或者在沖擊載荷作用時(shí)間相同的條件下,只要所選聯(lián)軸器的彈性相當(dāng)大,使得軸系的固有振動(dòng)頻率降低以達(dá)到保持t1,就能使經(jīng)聯(lián)軸器傳遞的最大變動(dòng)扭矩小于沖擊扭矩。綜上所述,有沖擊載荷作用時(shí),選擇具有彈性的聯(lián)軸器,能夠起到緩沖作用。需要多高的彈性,則與沖擊載荷持續(xù)作用的時(shí)間、軸系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等有關(guān)。一般聯(lián)軸器的承載能力,隨著彈性的增加而降低。因此,對(duì)于大型的和需要量較多的聯(lián)軸器,如果按上述方法選定聯(lián)軸器,則其尺寸和重量都有加大,從而增加制造成本并增加軸系的附加載荷。為此,當(dāng)沖擊載荷作用次數(shù)不多時(shí),可以采用安全性聯(lián)軸器,或采用具有較高阻尼的彈性聯(lián)軸器。
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