第4章 不對(duì)中狀態(tài)的理論分析
4.1 以材料力學(xué)為基礎(chǔ)的受扭分析
聯(lián)軸器正常工作情況下，只受到一個(gè)旋轉(zhuǎn)的扭矩。因此首先來(lái)研究圓環(huán)受扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力，這要綜合研究幾何、物理和靜力等三方面的關(guān)系。
4.1.1 變形幾何關(guān)系
為了觀察圓軸的扭轉(zhuǎn)變形，與薄璧圓筒受扭一樣，在圓周表面上作圓周線和縱向線，在扭轉(zhuǎn)力偶矩m作用下，得到與薄璧圓筒受扭時(shí)相似的現(xiàn)象。即：各圓周線繞軸線相對(duì)地旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，但大小，形狀和相鄰圓周線的距離不變，在校變形的情況下，縱向線仍然近似地是一條直線。只是傾斜了一個(gè)微小的角度，變形前表面上的方格，變形后錯(cuò)動(dòng)成菱形。
根據(jù)觀察到的現(xiàn)象，做下述基本假設(shè)：圓周扭轉(zhuǎn)變形前原為平面的橫截面，變形后仍保持平面，形狀和大小不變，半徑仍保持為直線；且相鄰兩截面間的距離不變。這就是圓周扭轉(zhuǎn)的平面假設(shè)。按照這一假設(shè)，扭轉(zhuǎn)變形中，圓軸的橫截面就像剛性平面一樣，繞軸線旋轉(zhuǎn)了個(gè)角度。以平面假設(shè)為基礎(chǔ)到處的應(yīng)力和變形計(jì)算公式，符合試驗(yàn)結(jié)果，且與彈性力學(xué)一致。
在圖4.1中，ф表示圓周兩端截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角，稱為扭轉(zhuǎn)角。扭轉(zhuǎn)角用弧度來(lái)度量。用相鄰的橫截面p-p和q-q從軸中取出長(zhǎng)為dx的微段。剪應(yīng)變
y=P
（4-1）
式中dф／dx是轉(zhuǎn)角φ沿x軸的變化率。對(duì)一個(gè)給定的截面來(lái)說(shuō)，它是常量。公式表明，橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距離p成正比。
4.1.2 物理關(guān)系
以
P表示橫截面上距圓心為ρ出的剪應(yīng)力，由剪切胡克定律知道
P=G·y （4-2）
將式（5-1）代入上式則可以得到
P= G·P （4-3）
這表明，橫截面上任一點(diǎn)的剪應(yīng)力ρ與該點(diǎn)到原新的距離ρ成正比。因?yàn)閅ρ發(fā)生于垂直于半徑的平面內(nèi)，所以Yρ也與半徑垂直。如果注意到剪應(yīng)力互等定理，則在縱向截面和橫截面上，沿半徑剪應(yīng)力的分布如圖4.2所示
因?yàn)楣街械?dф／dx尚未求出，所以仍不能用它計(jì)算剪應(yīng)力，這就要用靜力關(guān)系來(lái)解決。
4.1.3 靜力關(guān)系
于圓軸橫截面內(nèi)，按極坐標(biāo)取微分面積dA，求出內(nèi)力系對(duì)圓心的力矩就是截面上的扭矩即：
Ip稱為橫截面對(duì)圓心點(diǎn)的極慣性矩。由公式可以算出橫截面上距圓心為ρ的任一點(diǎn)的剪應(yīng)力為：
在圓截面邊緣上，ρ為最大值R，得到最大剪應(yīng)力為：
引用記號(hào)Wt=
，Wt為抗扭截面系數(shù)，便可以改寫(xiě)公式為τmox=
，導(dǎo)出的公式中引進(jìn)了截面極慣性矩和抗扭截面系數(shù)，在空心軸的情況下有
其中D和d分別為空心圓截面的外徑和內(nèi)徑，R為外半徑，α=d/D
最后建立圓軸扭轉(zhuǎn)的強(qiáng)度條件，根據(jù)軸的受力情況或扭矩圖，求出最大扭矩Tmax。對(duì)于等截面桿，按照公式算出最大剪應(yīng)力τmax不超過(guò)許用應(yīng)力[τ]，
4.2 以彈塑性力學(xué)為基礎(chǔ)的受扭分析
在材料力學(xué)中已知圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形規(guī)律。隨著扭矩MT的增加，剪應(yīng)力也不斷增大。由于圓軸最外層剪應(yīng)力最大，因而最外層首先進(jìn)入塑性狀態(tài)，此時(shí)的扭矩就是圓軸的彈性極限扭矩
MT=
（τθz）max （4-11）
（1）當(dāng)最外層開(kāi)始屈服時(shí)，此時(shí)最外層剪應(yīng)力應(yīng)達(dá)到剪切屈服應(yīng)力τy，即（τθz）max=τy，如圖4.4（a），于是有
=τy。
若選用Mises屈服準(zhǔn)則，則有
若選用Tresca屈服準(zhǔn)則，則有
（2）當(dāng)圓軸整個(gè)截面都進(jìn)入塑性狀態(tài)，如圖4.4（c），此時(shí)的扭矩就是圓軸的塑性極限
，即
若選用Mises屈服準(zhǔn)則，則
若選用Tresca屈服準(zhǔn)則，則
（3）當(dāng)扭矩MT處于彈性與塑性極限扭矩之間時(shí)，即<MT<時(shí)，則圓軸外層處于塑性狀態(tài)，內(nèi)層處于彈性狀態(tài)，彈性區(qū)與塑性區(qū)的分界面半徑為rP,此時(shí)扭矩
此時(shí)剪應(yīng)力在截面上沿半徑R的分布情況見(jiàn)如圖4.4（b）所示。
若先Mises屈服準(zhǔn)則，則有
若選用Tresca屈服準(zhǔn)則，則有
隨著扭矩的增加，塑性區(qū)由圓軸的外層向軸的中心逐漸擴(kuò)大，直至整個(gè)截面全部進(jìn)入塑性狀態(tài)。當(dāng)軸的整個(gè)截面全部進(jìn)入塑性狀態(tài)后，圓軸將進(jìn)入無(wú)約束的塑性變形，此時(shí)的圓軸將完全喪失承載能力。
彈性與塑性極限扭矩之比為：
4.3 軸向不對(duì)中時(shí)的聯(lián)軸器的工作狀態(tài)
在像膠右端面圓環(huán)上取單元體，且在分析過(guò)程中時(shí)取關(guān)鍵的四個(gè)象限點(diǎn)的位置作為研究對(duì)象，分別為90°，180°，270°，360°位置為研究對(duì)象。后面的徑向不對(duì)中、角向不對(duì)中以及綜合不對(duì)中也采用相同的4個(gè)位置進(jìn)行分析。
軸向不對(duì)中時(shí)，由于軸向的偏移，橡膠圓環(huán)左端面受到附加的向左拉應(yīng)力，右端面則受到附加的向右的拉應(yīng)力，并且在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，拉應(yīng)力σax的大小和方向的大小和方向都不會(huì)隨著圓環(huán)的旋轉(zhuǎn)角度改變而改變；由橡膠圓環(huán)旋轉(zhuǎn)扭矩產(chǎn)生的剪應(yīng)力τrot方向始終與其線速度方向相反，而線速度方向在旋轉(zhuǎn)一周的過(guò)程中不斷的變化。軸向不對(duì)中時(shí)的應(yīng)力情況應(yīng)該是σox與τrot的疊加，所以其受力情況比較復(fù)雜。
根據(jù)實(shí)際情況計(jì)算出工作時(shí)的剪應(yīng)力：GK2型內(nèi)燃機(jī)車啟動(dòng)發(fā)電機(jī)ZQF-38TH,115V,38KW,1170～358Or/min；GK2型內(nèi)燃機(jī)機(jī)用柴油機(jī)型號(hào)為MTU16V396TC14，持續(xù)功率為1378KW，旋轉(zhuǎn)角速度為18O0rad/min。柴油機(jī)冷區(qū)液溫度為40℃時(shí)最小啟動(dòng)轉(zhuǎn)矩包括加速余量約8OON.m，曲軸扭矩約75ON.m
根據(jù)聯(lián)軸器破壞時(shí)的橡膠圓環(huán)的裂紋方向和角度，可以知道裂紋有一個(gè)400的斜角，也就是說(shuō)引起破壞的應(yīng)力平面具有一定的角度。首先假設(shè)破壞僅僅是源于軸向不對(duì)中應(yīng)起的，下面對(duì)具體的位置進(jìn)行討論。
（1）軸向不對(duì)中90°位置：當(dāng)圓環(huán)上的單元體旋轉(zhuǎn)到最上方時(shí)，也就是90°位置時(shí)，單元體的應(yīng)力如下圖所示。
此時(shí)的受力情況其實(shí)屬于二向應(yīng)力狀態(tài)，利用解析法可知
最大主應(yīng)力平面如圖4.9所示。
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