第五章齒輪聯(lián)軸器耦合軸系動(dòng)力學(xué)分析及穩(wěn)定性研究
§5.1 引言
長(zhǎng)期以來，齒輪作為一個(gè)重要的聯(lián)結(jié)件，其軸系的振動(dòng)和噪音一直為工程界所關(guān)注，由于這些問題和齒傳輸線動(dòng)載荷密切相關(guān)，所以齒輪動(dòng)力學(xué)研究一個(gè)得要內(nèi)容就是確定輪齒上的動(dòng)載荷，但是一般都是對(duì)外齒輪系統(tǒng)的扭轉(zhuǎn)、彎曲，扭彎耦合振動(dòng)分析，而作為另一個(gè)重要的聯(lián)接件齒輪聯(lián)軸器研究很少。從以往對(duì)齒輪聯(lián)軸器的研究來看，大多對(duì)其連接的簡(jiǎn)單軸系的單純彎曲振動(dòng)、軸向振動(dòng)和扭轉(zhuǎn)振動(dòng)進(jìn)行研究、而對(duì)其軸系的彎扭耦合特性研究卻很少，本章在前幾章的基礎(chǔ)上，對(duì)半齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的耦合特性進(jìn)行研究；為了突出齒輪聯(lián)軸器，忽略支撐的影響，討論剛性支承齒輪聯(lián)軸器軸系的系統(tǒng)模態(tài)、特征值。揭示了齒輪軸系彎扭耦合振動(dòng)的特征，并說明齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒相對(duì)偏心（轉(zhuǎn)角、徑向）是造成齒輪聯(lián)軸器連接軸系彎扭耦合的主要原因。
最后對(duì)某實(shí)際DH型透平壓縮機(jī)齒輪聯(lián)軸器聯(lián)接轉(zhuǎn)子系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)計(jì)算和分析，對(duì)于考慮齒輪聯(lián)軸器與不考慮齒輪聯(lián)軸器兩種情況下對(duì)系統(tǒng)的特征值、穩(wěn)定性進(jìn)行了計(jì)算分析，說明其影響系統(tǒng)固有頻率和穩(wěn)定性的原因。
§5.2 研究對(duì)象及系統(tǒng)方程
圖5.1所示半齒聯(lián)軸器系統(tǒng)，本章計(jì)處聯(lián)1軸長(zhǎng)a1=600mm、a2=150mm直徑d1=30mm、質(zhì)量G1=8.36kg，極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I1=30000kgmm，軸2長(zhǎng)b1=800mm，b2=100mm直徑d2=20mm、質(zhì)量G2=5.66kg、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2=6300kgmm2，兩軸皆為鉸友；轉(zhuǎn)子位于軸的中央。齒輪聯(lián)軸器齒輪模數(shù)Mn=2mm齒數(shù)Nz=25，齒寬B1=B2=20mm，內(nèi)齒輪質(zhì)量為G2=2kg、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2=1000kgmm2，外齒輪質(zhì)量為G2=1kg、極轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I2=500kgmm2， 鼓形量Rc=155mm、兩段軸分別被離散成10個(gè)節(jié)點(diǎn)，集中質(zhì)量分別位于第4、7個(gè)節(jié)點(diǎn)上，傳遞扭矩T=600Kgmm2按照第三章、第四章求得齒輪聯(lián)軸器的剛度列出振動(dòng)方程：M
。
§5.3 齒傳輸線聯(lián)軸器耦合對(duì)系統(tǒng)因有頻率及振型的影響
支承靜態(tài)標(biāo)高為零時(shí)，表5.1和表5.2分別給出了耦合前一些轉(zhuǎn)速下軸1和軸2前9階的固有頻率，圖5.2和圖5.3分別是這些固有頻率對(duì)應(yīng)的軸1和軸2的振型圖，實(shí)點(diǎn)表示扭轉(zhuǎn)振型、空心點(diǎn)表示彎曲振型，模坐標(biāo)代表質(zhì)點(diǎn)位。從圖5.2和圖5.3中可以看到，耦合前由于轉(zhuǎn)子彎曲振動(dòng)與扭轉(zhuǎn)振動(dòng)是解耦的，所以圖中轉(zhuǎn)子的振型要么是純粹的彎曲振型，要么就是純粹的扭轉(zhuǎn)振型。
表5.3是耦合系統(tǒng)在同樣的轉(zhuǎn)速下，前18階的固有頻率，圖5.4是這些固有頻率對(duì)應(yīng)的耦合狀態(tài)下轉(zhuǎn)子的振型；橫坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)1～10代表軸1、11～20代表軸2；縱坐標(biāo)為振型；實(shí)點(diǎn)表示扭轉(zhuǎn)振型、空心點(diǎn)表示彎曲振型。
將表5.1、表5.2和表5.3進(jìn)行對(duì)比后可以發(fā)生，在每一個(gè)轉(zhuǎn)速下，耦合后的固有頻率變得比較密集，表5.1和表5.2中的固有頻率都可以在表5.3中找到與之乎相同的對(duì)應(yīng)值，而且耦合后頻率值比耦合前的略高，這主要是因齒輪聯(lián)軸的加入，相當(dāng)于給系統(tǒng)增加了約束。觀察這些固有頻率對(duì)應(yīng)的振型，凡表5.3與表5.1中相接近的固有頻率，在耦合狀態(tài)下，系統(tǒng)振型軸1的主振動(dòng)的成分占主要地位，例如圖5.4中mode3、mode16對(duì)應(yīng)圖5.2的mode3、mode5；凡表5.3與表5.2中相接近的固有頻率，在耦合狀態(tài)下，系統(tǒng)振型軸2的主振動(dòng)成分占主要地位，只有很小的軸1成分，而且振型形狀也和耦合前形態(tài)基本相同，例如圖5.4中mode1、5、6、14、17對(duì)應(yīng)圖5.3的mode1、2、3、6、7等；這說明齒輪聯(lián)軸器耦合對(duì)這些固有頻率和振型影響很小。
但是，另外我們可以發(fā)現(xiàn)，在表5.3中出現(xiàn)了許多表5.1和表5.2中所沒有的新的固有頻率如λ4co，λ7co，λ8co，λ11co，λ12co，λ13co，觀察這些因有頻率所對(duì)應(yīng)的振型，可以發(fā)現(xiàn)，它們對(duì)應(yīng)又可分為三種，1.純的彎曲耦合振型λ7co，λ8co對(duì)應(yīng)振型圖5.4中mode7、8；2.純的扭轉(zhuǎn)耦合振型λ4co，λ13co對(duì)應(yīng)振型圖5.4中mode4、13；3.彎扭振型相迭加的復(fù)振型——彎扭耦合振型λ11co，λ12co對(duì)應(yīng)振型圖5.4中mode11、12。這種彎耦合振型是由于齒輪聯(lián)軸器的耦合作用而新產(chǎn)生的，這是齒輪軸系統(tǒng)區(qū)別于一般單轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的重要特征之一，由于彎扭耦合模態(tài)的產(chǎn)生，決定了軸系統(tǒng)的振動(dòng)是彎扭耦合振動(dòng)。
表5.1 耦合前軸1特征值（λiun無量綱）
| 轉(zhuǎn)速（rpm）λiun |
λ1un |
λ2un |
λ3un |
λ4un |
λ5un |
λ6un |
λ7un |
λ8un |
λ9un |
| 300． |
13.312 |
46.964 |
97.788 |
99.119 |
118.030 |
233.320 |
276.730 |
378.57 |
509.21 |
| 600． |
6.655 |
23.455 |
48.565 |
49.895 |
59.017 |
116.610 |
138.260 |
189.280 |
254.350 |
| 900. |
4.436 |
15.618 |
32.158 |
33.489 |
39.345 |
77.703 |
92.107 |
126.190 |
169.400 |
| 1200. |
3.327 |
11.700 |
23.956 |
25.286 |
29.509 |
58.250 |
69.030 |
94.642 |
126.930 |
| 1500. |
2.661 |
9.348 |
19.036 |
20.366 |
23.607 |
46.579 |
55.184 |
75.714 |
101.440 |
| 1800. |
2.217 |
7.781 |
15.757 |
17.086 |
19.672 |
38.798 |
45.954 |
63.095 |
84.452 |
| 2100. |
1.900 |
6.661 |
13.415 |
14.744 |
16.862 |
33.241 |
39.362 |
54.081 |
72.316 |
| 2400. |
1.662 |
5.821 |
11.659 |
12.988 |
14.754 |
29.073 |
34.418 |
47.321 |
63.214 |
橫坐標(biāo)為質(zhì)點(diǎn)，縱坐標(biāo)為振型。
表5.2 耦合前軸2特征值（λiun無量綱）
| 轉(zhuǎn)速（rpm）λiun |
λ1un |
λ2un |
λ3un |
λ4un |
λ5un |
λ6un |
λ7un |
λ8un |
λ9un |
| 300． |
4.848 |
29.074 |
55.516 |
75.593 |
96.667 |
148.060 |
245.010 |
268.190 |
298.310 |
| 600． |
2.424 |
14.828 |
27.662 |
37.796 |
48.301 |
73.776 |
122.490 |
133.990 |
149.160 |
| 900. |
1.616 |
9.869 |
18.378 |
25.198 |
32.179 |
49.016 |
81.649 |
89.262 |
99.437 |
| 1200. |
1.212 |
7.390 |
13.735 |
18.898 |
24.118 |
36.637 |
61.229 |
66.898 |
74.578 |
| 1500. |
0.969 |
5.902 |
10.950 |
15.119 |
19.281 |
29.211 |
48.977 |
53.480 |
59.662 |
| 1800. |
0.808 |
4.910 |
9.092 |
12.599 |
16.056 |
24.261 |
40.809 |
44.536 |
49.719 |
| 2100. |
0.692 |
4.201 |
7.766 |
10.799 |
13.753 |
20.727 |
34.975 |
38.147 |
42.616 |
| 2400. |
0.606 |
3.670 |
6.771 |
9.449 |
12.026 |
18.076 |
30.599 |
33.356 |
37.289 |
橫坐標(biāo)為軸2離散質(zhì)點(diǎn)�？v坐標(biāo)為振型。
表5.3 無標(biāo)高耦合系統(tǒng)特征值（λico無量綱）
| 轉(zhuǎn)速（rpm）λico |
λ1co |
λ2co |
λ3co |
λ4co |
λ5co |
λ6co |
λ7co |
λ8co |
λ9co |
| 300． |
6.785 |
6.804 |
16.913 |
19.941 |
51.492 |
51.938 |
72.781 |
75.240 |
94.718 |
| 600． |
3.393 |
3.402 |
8.457 |
9.970 |
25.644 |
26.070 |
36.377 |
37.627 |
47.263 |
| 900. |
2.262 |
2.268 |
5.638 |
6.647 |
17.026 |
17.449 |
24.236 |
25.093 |
31.442 |
| 1200. |
1.696 |
1.701 |
4.228 |
4.985 |
12.716 |
13.138 |
18.162 |
18.827 |
23.530 |
| 1500. |
1.357 |
1.361 |
3.383 |
3.988 |
10.131 |
10.552 |
14.514 |
15.069 |
18.781 |
| 1800. |
1.131 |
1.134 |
2.819 |
3.323 |
8.407 |
8.827 |
12.080 |
12.565 |
15.613 |
| 2100. |
0.969 |
0.972 |
2.416 |
2.849 |
7.175 |
7.595 |
10.339 |
10.777 |
13.350 |
| 2400. |
0.848 |
0.851 |
2.114 |
2.493 |
6.251 |
6.671 |
9.032 |
9.436 |
11.651 |
續(xù)表5.3無標(biāo)高耦合系統(tǒng)特征值（λico 無量綱）
| 轉(zhuǎn)速（rpm）λico |
λ10co |
λ11co |
λ12co |
λ13co |
λ14co |
λ15co |
λ16co |
λ17co |
λ18co |
| 300． |
95.077 |
103.410 |
105.040 |
106.930 |
147.710 |
148.750 |
234.320 |
244.950 |
268.230 |
| 600． |
47.623 |
51.555 |
52.693 |
53.463 |
73.602 |
74.639 |
117.150 |
122.480 |
134.080 |
| 900. |
31.802 |
34.252 |
35.272 |
35.642 |
48.899 |
49.936 |
78.098 |
81.651 |
89.354 |
| 1200. |
23.890 |
25.598 |
26.572 |
26.732 |
36.549 |
37.586 |
58.567 |
61.238 |
66.975 |
| 1500. |
19.142 |
20.406 |
21.357 |
21.386 |
29.141 |
30.177 |
46.848 |
48.990 |
53.527 |
| 1800. |
15.975 |
16.947 |
17.820 |
17.885 |
24.202 |
25.238 |
39.033 |
40.825 |
44.507 |
| 2100. |
13.713 |
14.478 |
15.275 |
15.407 |
20.675 |
21.712 |
33.449 |
34.992 |
37.619 |
| 2400. |
12.015 |
12.627 |
13.365 |
13.5550 |
18.031 |
19.067 |
29.259 |
30.618 |
31.890 |
我們從振型圖5.4中還可以看出，在支承靜態(tài)標(biāo)高為零，其耦合后純的彎曲耦合模態(tài)、純的扭轉(zhuǎn)耦合模態(tài)比較明顯；而彎扭振型相迭加的復(fù)合振型——彎曲耦合模態(tài)很不明顯。這主要因?yàn)辇X輪聯(lián)軸器連接的兩段軸對(duì)中性很好時(shí)，齒輪聯(lián)同器靠自身的重果和轉(zhuǎn)子的重量引起的內(nèi)外的向?qū)ξ灰品浅Ｐ�，齒輪聯(lián)軸器扭轉(zhuǎn)和彎曲交叉剛度非常小，其數(shù)值如表5.4。這可以把聯(lián)軸器看成是一個(gè)軸段來處理這是一個(gè)彎扭解耦模型，在以往計(jì)算中一般都采用當(dāng)量軸段來代替齒輪聯(lián)軸器。但這是在支承對(duì)中性很好的情況下的處理方法，下面我們?cè)谥С杏幸欢o態(tài)標(biāo)高下討論齒輪聯(lián)軸器彎扭效應(yīng)。
表5.4齒輪聯(lián)軸器剛度（K無量綱）
| |
|
X |
Y |
φ |
ψ |
θ |
| K |
x |
0.2748 |
-1.939e-4 |
5.207e-5 |
1.654e-3 |
-8.078e-3 |
| K |
y |
-1.939e-4 |
0.2751 |
1.568e-2 |
5.207e-5 |
-3.817e-3 |
| K |
φ |
5.207e-5 |
1568e-2 |
5.148e-3 |
-1.067e-5 |
1.031e-3 |
| K |
ψ |
-8.078e-3 |
-3.817e-3 |
-1.067e-5 |
5.131e-3 |
2.192e-3 |
| K |
θ |
-8.078e-3 |
-3.817e-3 |
1.031e-3 |
2.192e-3 |
0.7058 |
§5.4齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪不對(duì)中對(duì)系統(tǒng)固有頻率振型的影響
我們?nèi)】拷?lián)軸器的兩個(gè)支承的靜態(tài)標(biāo)高分別為：x1=0.0mm,y1=0.1mm,x2=0.0mm,y2=0.1mm,使聯(lián)軸器的內(nèi)外齒輪存在一定靜態(tài)相對(duì)位移。表5.5是有靜態(tài)標(biāo)高下耦合系統(tǒng)在表5.1、5.2同樣轉(zhuǎn)速下前18階的固有頻率，圖5.5是這些固有頻率對(duì)應(yīng)的耦合狀態(tài)下轉(zhuǎn)子的振型；橫坐標(biāo)質(zhì)點(diǎn)1～10代表軸1，質(zhì)點(diǎn)點(diǎn)11～20代表軸2；縱坐標(biāo)為振型，實(shí)點(diǎn)表示扭轉(zhuǎn)振型、空心點(diǎn)表示彎曲振型。
將表5.1、表5.2和表5.5進(jìn)行對(duì)比后可以發(fā)現(xiàn)，在每一個(gè)轉(zhuǎn)速下，耦合后的固有頻率變得比較密集，除與靜態(tài)標(biāo)高為零時(shí)相同的性質(zhì)外，其出現(xiàn)了許多表5.1和表5.2、5.4中沒有的新的固有頻率其對(duì)應(yīng)的彎扭振型相迭加的復(fù)合振型—彎扭耦合振型，如表5.5中固有頻率λ8co、λ10co、λ11co、λ12co、λ14co、λ15co、λ18co對(duì)應(yīng)振型其振型比較復(fù)雜圖5.5中mode8、10、11、12、14、15、18等，同時(shí)我
表5.5 有標(biāo)高耦合系統(tǒng)特征值（λico無量綱）
| 轉(zhuǎn)速（rpm）λico |
λ1co |
λ2co |
λ3co |
λ4co |
λ5co |
λ6co |
λ7co |
λ8co |
λ9co |
| 300． |
5.892 |
6.777 |
16.657 |
17.070 |
19.270 |
30.101 |
38.613 |
51.768 |
57.107 |
| 600． |
2.946 |
3.389 |
8.328 |
8.539 |
9.639 |
15.051 |
19.305 |
25.876 |
28.562 |
| 900. |
1.964 |
2.259 |
5.552 |
5.693 |
6.426 |
10.034 |
12.869 |
17.241 |
19.050 |
| 1200. |
1.473 |
1.694 |
4.164 |
4.269 |
4.819 |
7.525 |
9.650 |
12.922 |
14.297 |
| 1500. |
1.178 |
1.355 |
3.331 |
43.415 |
3.855 |
6.020 |
7.718 |
10.328 |
11.447 |
| 1800. |
0.982 |
1.130 |
2.776 |
2.846 |
3.213 |
5.017 |
6.430 |
8.597 |
9.549 |
| 2100. |
0.842 |
0.968 |
2.379 |
2.440 |
2.754 |
4.300 |
5.510 |
7.359 |
8.194 |
| 2400. |
0.736 |
0.847 |
2.082 |
2.135 |
2.410 |
3.763 |
4.819 |
6.430 |
7.179 |
續(xù)表5.5 有標(biāo)高耦合系統(tǒng)特征值（λico無量綱）
| 轉(zhuǎn)速（rpm）λico |
λ10co |
λ11co |
λ12co |
λ13co |
λ14co |
λ15co |
λ16co |
λ17co |
λ18co |
| 300． |
71.181 |
88.041 |
94.961 |
97.042 |
103.240 |
120.830 |
147.860 |
148.980 |
233.930 |
| 600． |
35.585 |
43.990 |
47.487 |
48.520 |
51.644 |
60.427 |
73.687 |
74.743 |
116.760 |
| 900. |
23.717 |
29.294 |
31.666 |
32.347 |
34.455 |
40.298 |
48.959 |
50.002 |
77.906 |
| 1200. |
17.781 |
21.937 |
23.756 |
24.260 |
25.868 |
30.237 |
36.596 |
37.634 |
58.459 |
| 1500. |
14.218 |
17.517 |
19.011 |
19.408 |
20.720 |
24.203 |
29.179 |
30.215 |
46.780 |
| 1800. |
11.841 |
14.566 |
15.848 |
16.173 |
17.293 |
20.184 |
24.234 |
25.269 |
38.987 |
| 2100. |
10.142 |
12.455 |
13.589 |
13.864 |
14.847 |
17.315 |
20.704 |
21.738 |
33.417 |
| 2400. |
8.867 |
10.869 |
11.894 |
12.132 |
13.015 |
15.165 |
18.056 |
19.089 |
29.238 |
們還可以看出，系統(tǒng)彎扭耦合成分羅內(nèi)外齒對(duì)中時(shí)明顯；同時(shí)我們從振型中還可以發(fā)現(xiàn)一些以原來耦合前固有振型為主要成分同時(shí)夾雜少量的彎扭耦合的成分振型如圖5.5中mode1、4、13、16分別對(duì)應(yīng)耦合前軸2mode1、軸1mode1、軸2mode5、mode7。
彎扭耦合現(xiàn)象變得明顯的原因主要可能是：靜態(tài)標(biāo)高的存在使聯(lián)軸器交叉剛度相對(duì)增加，尤其是與摶轉(zhuǎn)方向交叉剛度，如表5.6是耦合后聯(lián)軸器的剛度，其中與扭轉(zhuǎn)方向的交叉剛度有所增加。
表5.6齒輪聯(lián)軸器剛度（K無量綱）
| 剛度 |
|
X |
Y |
φ |
ψ |
θ |
| K |
x |
0.64103 |
-9.087e-5 |
4.7487e-4 |
2.460e-4 |
-1.29e-3 |
| K |
y |
-9.087e-5 |
0.1312 |
1.131e-3 |
4.748e-4 |
0.1775 |
| K |
φ |
4.7487e-4 |
1.131e-3 |
2.385e-5 |
-5.009e-5 |
1.402e-3 |
| K |
ψ |
2.460e-4 |
4.748e-4 |
-5.009e-5 |
1.1672e-3 |
8.3585e-4 |
| K |
θ |
-1.29e-3 |
0.1775 |
1.402e-3 |
8.3585e-4 |
0.2507 |
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