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5-3  用SSGILM法計算帶有非線性聯(lián)軸器軸系穩(wěn)態(tài)響應

為了求得未知向量{a}，還需做以下工作：

一、向量函數(shù){r（{ a^（k）}）}的計算

要計算{r（{ a^（k）}）}的值，首先需要求得頻域向量{q({a^(k)})}和{f_J({a^(k)})}的值。

1．{q({a^(k)})}的計算

{q({a^(k)})}為聯(lián)軸器恢復力（，，，τ）的傅立葉級數(shù)展開式各簡諧分量的系數(shù)向量。對于給定的{ a^（k）}，不能由時域表達式（，，，τ）求得頻域內的{q（{ a^（k）}）}，而必須按以下步驟計算。

首先，由給定的頻域向量{q（{ a^（k）}）}，根據(jù)傅立葉展開式（5-13）求得，在一個周期內的N個時域離散值，記為Y（1）～Y（N）和DY（1）～DY（N），其次，由下式求得的幅值

然后，將以及，的時域離散值代入第三章中得到的恢復力（，，，τ）的表達式（3-8）、（3-12）、（3-27）和（3-41）式，算得對應于{ a^（k）}的恢復力Q在一個周期內N個時域離散值，再對這N個Q的時域離散值進行FFT變換，即可得到非線性恢復力Q在頻域內的各諧波分量的系數(shù)向量{q（{ a^（k）}）}

2. {f_j（{ a^（k）}）}的計算

{f_j（{ a^（k）}）}是式（5-6）中恢復力F_j的傅立葉級數(shù)展開式各諧波分量的系數(shù)向量。當向量{ a^（k）}給定時，首先由5-2節(jié)中所述方法 算得各個和（j=1，2，…，n），其次由（5-6）式中恢復力F_j的表達式算得一個周期內的時域離散值，然后對這些離散值進行FFT變換，即可得到頻域中Fj的各諧波分量的系數(shù)向量{f_j（{ a^（k）}）}。

算得{q（{ a^（k）}）}和{f_j（{ a^（k）}）}后，代入（5-15）式即可得到{r（{ a^（k）}）}。

二、雅可比矩陣[J（{ a^（k）}）]的計算

為計算方便起見，將雅可比矩陣式（5-21）分解成三個矩陣：

[J（{ a^（k）}）]=[J₁]+[J₂]+[J₃]                （5-30）

1.[J₁]的計算

由（5-15）和（5-21）式可得：

        [J₁]=

[J₂]的計算實際上就是對{q（{ a^（k）}）}/{ a^（k）}的計算。由于恢復力Q的函數(shù)表達式是{ a^（k）}的隱函數(shù)，因此不可能由Q的表達式直接進行FFT變換來求得{q（{ a^（k）}）}，也可能由{q（{ a^（k）}）}直接對{ a^（k）}；求偏導數(shù)來得到[J₂]，可采用以下方法來計算[J₂]：

由第三章中的式（3-8）、（3-12）、（3-41）和本章中的式（5-13）可得：

式中，/，，/，，/可以直接由Q的表達式和（5-13）進行解析計算得到，/{ a^（k）}，/{ a^（k）}也可以由（5-13）式直接進行解析計算得到。而/{ a^（k）}的計算須用微商的方法來進行計算，即對一個給定的{ a^（k）}，選取增量△{ a^（k）}，然后計算一個周期內對應的（{ a^（k）}+△{ a^（k）}）和（{ a^（k）}）值，得：

由（5-32）式算得/{ a^（k）}的時域離散值后，進行FFT變換即可得到頻域中的{q（{ a^（k）}）}/{ a^（k）}。

3. [J₃]的計算

[J₃]的計算實際上就是偏導數(shù){f_j（{ a^（k）}）}/{ a^（k）}的計算。計算方法與計算{q（{ a^（k）}）}的方法類似，故不再贅述。對于[J₂]，[J₃]、分別有式（5-34）、（5-35）。

在計算出{r（{ a^（k）}）}和{J（{ a^（k）}）}之后，就可以按5-2節(jié)中發(fā)展的ILM法進行搜索迭代計算，由初始向量{a^（0）}不斷搜索逼近滿足精度要求的{ a^（k+1）}，然后代入（5-10）、（5-11）、（5-12）和（5-7）即可求得聯(lián)軸器從動端質量塊m_b的穩(wěn)態(tài)響應y_b以及軸系中各圓盤轉子穩(wěn)態(tài)應Y。同時還可以得到對應的幅頻圖。

5-4  小結

本章對帶有非線性聯(lián)抽器的n+1個自由度軸系在圓盤質量偏心產(chǎn)生的激勵力作用下穩(wěn)態(tài)響應計算方法進行了研究，以GLM法為基礎，提出了一種稱為SSGILM (Separate System-Ga1erkin and Imp-r0ved Leenberg-Marquardt的方法，用于計算局部具有非線性特性軸系的穩(wěn)態(tài)響應。

主要工作如下：

1.建立帶有非線性聯(lián)鈾器n+1個自由度軸系的力學模型和數(shù)學模型，為了求解這種局部含有非線性元件的軸系的穩(wěn)態(tài)響應，將軸系分成兩個子系統(tǒng)，即含有n個自由度的線性軸系和含有非線性變參數(shù)的聯(lián)軸器子系統(tǒng)。

2.對線性軸系子系統(tǒng)運動微分方程組用正則坐標變換進行解藕處理；對非線性變參數(shù)的聯(lián)軸器子系統(tǒng)運動微分方程用Galerkin法，變成一組隱含系數(shù)向量{a}的非線性代數(shù)方程組。

3.針對LM法的缺點，采用已有的選擇合適μ值的方法和加快收斂速度的算法對LM法進行了改進，用改進算法對上面得到的非線性方程組中的未知向量{a}進行搜索計算，最后解出局都具有非線性特性軸系的穩(wěn)態(tài)響應。

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