2.4圓柱正弦活齒傳動受力分析
2.4.1活齒受力分析
正弦滾道是由活齒沿一定的空間正弦曲線運(yùn)動包格而成，所以圓柱正弦活齒傳動屬于空間嚙合傳動。在圓柱正弦活齒傳動機(jī)構(gòu)工作過程中，幾乎所有的活齒都參與接觸與傳力，由于正弦滾道具有周期性，每個活齒與正弦滾道間共軛齒廓的工作過程又完全相同，所以在受力分析時，可以任選一個活齒嚙合副作為對象進(jìn)行研究。
不計活齒的重力及各構(gòu)件間的摩擦力，則各構(gòu)件對活齒的作用力都通過活去的球心并沿活齒齒面的法線方向，圖2-10為各作用力的空間位置關(guān)系。活齒的局部坐杯系為（o；x,y,z)，坐標(biāo)原點(diǎn)0為活齒的球心，x軸為活齒傳動的徑向方向，y軸為活齒傳動的周向方向，z軸為活齒傳動的軸向方向。設(shè)主動軸的外正弦滾道對活齒的作用力為F1，接觸角為αn1；殼體內(nèi)正弦滾道對活齒的作用力為F3，接觸角為αn3；導(dǎo)架的活齒槽對活齒的作用力為F2；ui(i=1,3）為各嚙合副間瞬時接觸線的方向角。
顯然F1、F2、F3組成一空間匯交力系，假設(shè)活齒在每個工作瞬時處于衡狀態(tài)，根據(jù)圖2-10中各作用力的空間位置關(guān)系，可列方程如下：
由式（2-23）可以看出，未知數(shù)包括F1、F2、F3、αn1、αn3共有5個，而方程個數(shù)只有3個，屬于力學(xué)中靜不定的問題，需要尋找變形協(xié)調(diào)條件來補(bǔ)足方程的個數(shù)。
為便于研究，找出其變形協(xié)調(diào)關(guān)系，做出如下假設(shè)：
（1）不計嚙合點(diǎn)處的摩擦力與活齒自轉(zhuǎn)；
（2）除嚙合點(diǎn)處彈性變形外，其他各件的變形忽略不計，且變形服從胡克定律；
（3）各傳動件軸向位移不計，加工誤差忽略不計。
各活齒與主動軸之間的作用力F1i可分解為徑向力F1xi，和徑向法截面方向的力F1yzi，假定主動軸瞬時不動，給活齒施加一個順時針方向的力矩T1（T1為輸入力矩），在該力矩的作用下，各活齒與主動軸接觸處產(chǎn)生接觸變形，使活齒中心轉(zhuǎn)過一個角度△φ，則所有活齒中心相應(yīng)的發(fā)生一個相同的微小周向位移加，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，假設(shè)△s在F1yzi方向的投影大小與F1yzi成正比，即F1yzi∝△scos（u1i），則有下列等式成立：
式中 F1yzi=F1isin（αn1）； u1max=actan（R1/（AZ1））；
R1——主動軸空間正弦曲線徑向半徑（mm）；
A——空間正弦曲線的幅值（mm）
整理式（2-24）得到：
為求得F1yzmax，對主動軸列扭矩平衡方程，則有
式中 T1——輸入扭矩（N·mm）；
n——活齒個數(shù)。
將式（2-25）代入式（2-26）中得到：
現(xiàn)利用平均值法求
，求解過程如下：
另外，根據(jù)圓柱正弦活齒傳動中一個活齒嚙合副的幾何關(guān)系，可列如下方程：
（r′-r）（cos（αn1）-cos（αn3））=R1-R3 （2-29）
式中 r′——正弦滾道半徑（mm），通常r′=（1.04～1.11）r；
r——活齒半徑（mm）；
R3——?dú)んw正弦曲線徑向半徑（mm）。
將式（2-23）、（2-25）及（2-29）聯(lián)立，則方程的個數(shù)為5個，與未知數(shù)的個數(shù)相同，故可解。
2.4.2其他構(gòu)件的受力分析
活齒對主動軸外正弦滾道作用力的圓周力分量Ft1、軸向力分量Fa1、徑向力分量Fr1的大小分別為
活齒對殼體內(nèi)正弦滾道作用力的圓周力分量Ft3、軸向力分量Fa3、徑向力分量Fr3的大小分別為
2.4.3圓柱正弦活齒傳動受力分析計算實(shí)例
已知一圓柱正弦活齒減速器，其設(shè)計參數(shù)為A=4.5mm，r=5mm，r1=5.4mm，R=23.5mm，Z1=1，Z3=4，T=20Nm，t=5。根據(jù)本文建立的活齒受力分析模型，采用牛頓法求解式（2-23）、（2-25）及（2-29）聯(lián)立的方程組，應(yīng)用Matlab編程計算，得到在一個工作周期內(nèi)活齒的受力情況，計算結(jié)果如圖2-11、2-12所示。同時可計算出所有活齒作用在主動軸上軸向合圖，其結(jié)果如圖2-13所示。
由圖2-11分析可知，在空間正弦軌跡曲線的拐點(diǎn)附近活齒受力最大，且作用在活齒上的三個力F1、F2、F3中，F(xiàn)3值最大，也就是說，在進(jìn)行接觸強(qiáng)度計算的時候，應(yīng)以活齒與殼體間的接觸情況為主要依據(jù)。接觸角αni(i=1,3）的求解為圓柱正弦活齒傳動的結(jié)構(gòu)設(shè)計提供了必要的條件，它成為正弦滾過深度bi,(i=1,3）的主要度量依據(jù)。由圖2-13可以看出圓柱正弦活齒傳動主動軸上的軸向合力幾乎為零，且該傳動輸入軸的旋轉(zhuǎn)中心與其幾何中心重合，屬于自平衡結(jié)構(gòu)，避免了慣性力的產(chǎn)生。因此只需采用單激波器的結(jié)構(gòu)型式即可使慣性力和作用力達(dá)到平衡，縮短了傳動的運(yùn)動鏈，減少了動力損耗，提高了傳動系統(tǒng)的效率和運(yùn)動穩(wěn)定性。
2.5主曲率計算分析
在進(jìn)行圓柱正弦活齒傳動接觸強(qiáng)度分析時，需要利用正弦滾道齒面的主曲盆和主曲率半徑，為此需對正弦滾道齒面的主曲率和主曲率半徑進(jìn)行分析計算。根據(jù)微分幾何理論，除在曲面上的奇異點(diǎn)之外，法曲率隨著所選取的方向下同而變化，而在一個非奇異的固定點(diǎn)，沿不同方向的法曲率之中有其最大值和最小值，而這最大值法曲率和最小值法曲率及分別稱為曲面在該點(diǎn)的兩個主曲率，當(dāng)主曲率不為零時，主曲率的倒數(shù)稱為主曲率半徑；對應(yīng)主曲率的方向稱為主方向，并且兩個主方向互相垂直。
由于正弦滾道齒面是球狀活齒沿空間正弦曲線軌跡運(yùn)動包絡(luò)而成，顯見在理想情況下瞬時接觸線的方向即為正弦滾道齒面的一個主方向，其對應(yīng)的主曲k21=-1/r′，則另一個主方向應(yīng)在瞬時接觸線的法向方向，為得到正弦滾道鑿面在該方向上的主曲率k22，需計算出正弦齒面在接觸點(diǎn)處的全曲率K,由微分幾何中對全曲率定義有：
A——正弦幅值（mm）；
Z——正弦滾道周期數(shù)；
R——活齒中心圓周方向旋轉(zhuǎn)半徑（mm）；
u——瞬時接觸線的方向角（rad）；
v——接觸角（rad）；
φ——活齒在正弦滾道齒面坐標(biāo)系中的位置角（rad）。
根據(jù)式（2-32），應(yīng)用Matlab編程計算得到滾道齒面與活齒接觸點(diǎn)處的主曲率與全曲率的變化曲線如圖2-14、圖2-15。從圖中可見，主動軸正弦滾道齒面在接觸點(diǎn)處的全曲率恒為負(fù)值，根據(jù)微分幾何中的定義，則該接觸點(diǎn)為雙曲點(diǎn)，而殼體正弦滾道齒面在接觸點(diǎn)處的全碘率恒為正值，則該接觸點(diǎn)為隨圓點(diǎn)。從數(shù)值上看，曲率的變化范圍大，傳動比較平穩(wěn)。
2.6活齒的運(yùn)動狀態(tài)分析
在圓柱正弦活齒傳動的一個活齒嚙合副中，活齒與殼體及主動軸的滾道分別在A、B點(diǎn)接觸，如圖2-16所示，接觸角近似取αn1=αn3=π/4，活齒在接觸點(diǎn)A、B的運(yùn)動速度方向即為接觸點(diǎn)軌跡曲線LA及LB的切線方向，根據(jù)式（2-19），可知活齒與殼體接觸點(diǎn)A的運(yùn)動軌跡曲線LA的方程：
式中 R——活齒中心圓周方向旋轉(zhuǎn)半徑（mm）；
r——活齒半徑（mm）。
由式（2-33）可求得軌跡曲線LA的切線方程，為便于計算，將其轉(zhuǎn)換到活齒坐標(biāo)系中，該方程的方向數(shù)為：
在理想情況下，活齒的中心O沿空間正弦曲線運(yùn)動，其軌跡曲線LO方程為：
同理，由式（2-35）可以求得活齒中心的運(yùn)動速度方向，轉(zhuǎn)換到活齒坐標(biāo)系后，其方向數(shù)為：
根據(jù)空間解析幾何中兩空間直線夾角的公式，由式（2-34）、（2-36）可求出兩軌跡曲線LA、LO切線的夾角αAO，通過計算證明αAO小于10°，忽略αAO引起的活齒相對殼體滾道齒面的滑移運(yùn)動。同理可以求得兩軌跡曲線LB、LO切線的夾角αBO，計算證明αBO較大，故不可忽略由αBO引起的活齒相對于主動軸滾道齒面的滑移運(yùn)動。若將活齒中心O看作活齒運(yùn)動的瞬時中心，則活齒在與殼體齒面接觸點(diǎn)A的速度方向即為活齒在該點(diǎn)繞其自身軸線旋轉(zhuǎn)的速度方向，活齒自轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)軸線應(yīng)在垂直與該速度方向的平面上，也就是在殼體正弦滾道的法截面上。設(shè)旋轉(zhuǎn)軸，即活齒自轉(zhuǎn)角速度的方向矢量為：
接觸點(diǎn)的位置方向幺矢為：
則矢量
應(yīng)平行于活齒中心的速度方向矢量{0，-tan（u3），1}，據(jù)此條件，可以得到α=αn3-π/2。則旋轉(zhuǎn)軸的方向矢量為：
2.7滑動率
活齒傳動在傳遞運(yùn)動和動力的過程中，共扼齒廓高副兩元素間，由于接觸點(diǎn)的切線速度不同而產(chǎn)生相對滑動，齒形的磨損規(guī)律，在一定程度上取決于共軛齒廓在各接觸點(diǎn)上相對滑動速度的變化律，滑動率U表明兩共扼齒廓間有害滑動作用的特性。圓柱正弦活齒傳動中相對速度為空間矢量，故本文中滑動率定義為兩共軛齒廓瞬時接觸線法線方向的相對滑動速度的變化律。一般情況下，活齒在滾道中的運(yùn)動是比較復(fù)雜的，可作滾動、滑動、或又滑又滾，由對活齒運(yùn)動狀態(tài)的分析可知，圓柱正弦活齒傳動中，齒面磨損相對嚴(yán)重的是活齒與主動軸這對共軛齒廓，活齒沿殼體齒面可作純滾動或又滾又滑運(yùn)動，而當(dāng)活齒沿殼體齒面作純滾動時，主動軸與活齒之間磨損最為嚴(yán)重，考慮此時主動軸與活齒之間的滑動率，即可以定性的分析圓柱正弦活齒傳動共扼齒廓間的磨損情況。
根據(jù)本文對滑動率的定義，滑動率的公式可寫為：
U=v10t/v1t （2-38）
式中v10t——主動軸與活齒接觸點(diǎn)處沿接觸線法線方向的相對滑動速度（m/s)；
v1t——主動軸在接觸點(diǎn)處沿接觸線法線方向的相對滑動速度（m/s）。
當(dāng)活齒沿殼體齒廓作純滾動時，活齒繞自身軸線旋轉(zhuǎn)的角速度為：
式中 ω1——主動軸旋轉(zhuǎn)的角速度（rad/s）。
為便于計算，先假設(shè)導(dǎo)架固定不動，求得主動軸與活齒的在接觸點(diǎn)處的相對速度矢量�；铨X在與主動軸接觸點(diǎn)處的運(yùn)動速度為公轉(zhuǎn)速度與自轉(zhuǎn)速度兩部分能合成速度，其中公轉(zhuǎn)速度為活齒中心沿空間正弦軌跡曲線運(yùn)動的速度：
則主動軸與活齒的在接觸點(diǎn)處的相對速度為：
在固定坐標(biāo)系中，主動軸接觸點(diǎn)處的速度為：
將相對速度矢量
及主動軸接觸點(diǎn)處的速度
投影到瞬時接觸線的法線方向得到v10t和，v1t，將二者代入式（2-38)，計算出滑動率。由于正弦滾道形狀具有周期性，因此共軛齒面間的滑動率也呈現(xiàn)周期性變化，考慮齒形參數(shù)——活齒半徑r、活齒中心回轉(zhuǎn)半徑R、正弦幅值A(chǔ)及殼體滾道正弦周期數(shù)Z對滑動率的影響，若給定其中任意三個參數(shù)，改變另一個參數(shù)，可以得到在一個工作周期內(nèi)滑動率隨齒形參數(shù)的變化規(guī)律曲線如圖2-17所示。
由此可見，圓柱弦活齒傳動的滑動率是嚙合點(diǎn)位置的函數(shù)，而且在一個工作周期滑動率變化不大。當(dāng)活齒運(yùn)動到正弦滾道的拐點(diǎn)處時，共軛齒面的滑動率最大；當(dāng)運(yùn)動到正弦滾道的波峰及谷處時，共軛齒面間的滑動率最小。由圖2-17定性分析可知，參數(shù)r、R、A及Z對滑動率都有影響，其中殼體滾道正弦周期數(shù)Z的變化對滑動率的影響最大。進(jìn)行結(jié)構(gòu)設(shè)計時，當(dāng)機(jī)構(gòu)的傳動比一定，在滿足強(qiáng)度要求及其它設(shè)計要求的前提下，應(yīng)適當(dāng)減小鋼球半徑、增大活齒中心回轉(zhuǎn)半徑、減小正弦幅值，以達(dá)到降低滑動率，減小共軛齒廓間磨損的目的。
2.8本章小結(jié)
1.闡述了圓柱正弦活齒傳動的結(jié)構(gòu)組成和傳動原理，推導(dǎo)出傳動比計算公式及活齒傳動的正確連續(xù)傳動條件。建立空間正弦滾道齒面的齒廓方程，并仿真出齒廓曲面；
2.在單個活齒受力分析的基礎(chǔ)上，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，建立了圓柱正弦活齒傳動的受力分析模型，據(jù)此可以計算出各構(gòu)件作用在活齒上的接觸力的數(shù)值角，并建立了該傳動其他構(gòu)件的受力計算公式，為圓柱正弦活齒傳動的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計和強(qiáng)度分析提供了依據(jù)。由此也驗(yàn)證了圓柱正弦活齒傳動是一具有自平衡能力的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)；
3.計算出正弦滾道齒面在與活齒齒面接觸點(diǎn)處的全曲率和主曲率，分析了在一個正弦周期中曲率的變化規(guī)律，為圓柱正弦活齒傳動的接觸強(qiáng)度計算奠定了基礎(chǔ)；
4.根據(jù)活齒傳動嚙合副的相對運(yùn)動對活齒的運(yùn)動狀態(tài)進(jìn)行了分析；推導(dǎo)出共軛齒廓間的滑動計算公式，并考慮各齒形參數(shù)變化對滑動率的影響，對圓柱正弦活齒傳動共軛齒廓間的磨損情況作了定性分析。
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