第3章 圓柱正弦活齒減速器模糊可靠性的研究
3.1引言
圓柱正弦活齒減速器可以應(yīng)用在航天機(jī)械、采油裝置及機(jī)器人傳動等復(fù)雜的工作環(huán)境中，其可靠性的好壞直接影響生產(chǎn)的效率和安全，為此，對它進(jìn)行可靠性研究具有十分重要的意義。圓柱正弦活齒減速器的可靠性研究應(yīng)包括以下兩個方面：一方面是機(jī)械零部件本身的可靠度研究，即組成減速器系統(tǒng)的各個零部件完成所需功能的能力。另一方面是減速器樂統(tǒng)的可靠性研究。其中系統(tǒng)的可靠度還取決于系統(tǒng)中機(jī)械零部件組合的方式。
在圓柱正弦活齒減速器系統(tǒng)中，活齒與正弦滾道齒面的接觸方式為點(diǎn)接觸，則正弦滾道齒面與活齒的工作表面發(fā)生點(diǎn)蝕或膠合是該嚙合副的主要失效形式，對其進(jìn)行接觸強(qiáng)度的可靠性研究，對提高齒面強(qiáng)度、降低失效概率具有非常重要的意義。接觸強(qiáng)度的點(diǎn)蝕破壞是由于損傷積累引起性能下降最終導(dǎo)致故障的出現(xiàn)，系統(tǒng)從完好到失效是一個循序漸進(jìn)的過程，其間呈現(xiàn)出亦此亦彼的模糊狀態(tài)，因此在機(jī)械系統(tǒng)中隨機(jī)性與模糊性是密切相關(guān)的，本章將模糊數(shù)學(xué)方法和隨機(jī)方法結(jié)合起來，對圓柱正弦活齒傳動的接觸強(qiáng)度進(jìn)行模糊可靠性分析，突破了常規(guī)設(shè)計(jì)方法中將應(yīng)力、強(qiáng)度視為確定量而忽視其隨機(jī)性和模糊性的局限性，使設(shè)計(jì)結(jié)果更加合理，更為真實(shí)。
在系統(tǒng)可靠性研究方法中，故障樹分析（FTA）是一種用于復(fù)雜系統(tǒng)可靠性和安全性分析的有效方法，F(xiàn)TA是一種圖形演繹方法，能通過對可能造成系統(tǒng)故障的多種因素（包括軟件、硬件、環(huán)境、人為因素）進(jìn)行分析，畫出邏輯框圖即故障樹，從而確定系統(tǒng)故障原因的各種可能組合方式或其發(fā)生概率。本章在分析圓柱正弦活齒減速器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)及功能關(guān)系的基礎(chǔ)上，建立圓柱正弦活齒減速器的故障樹，確定了系統(tǒng)的最小割集。將模糊數(shù)學(xué)引入傳統(tǒng)的故障樹分析中，根據(jù)建立的故障樹中各事件的邏輯關(guān)系，采用模糊數(shù)的運(yùn)算法則及模糊算子AND和OR計(jì)算出系統(tǒng)以“輸出軸不傳遞扭矩”為故障的模糊概率值。
為體現(xiàn)真實(shí)工況下減速器系統(tǒng)的可靠性情況，在建立故障樹的基礎(chǔ)上，基于Monte-Carlo方法對圓柱正弦活齒減速器進(jìn)行可靠性的數(shù)字仿真。由此得到了系統(tǒng)故障的可靠度、失效概率及壽命分布等一系列可靠性指標(biāo)，并通過對基本部件模式重要度的分析，找出系統(tǒng)薄弱環(huán)節(jié)，對改進(jìn)和重新設(shè)計(jì)系統(tǒng)具有很大約啟發(fā)性和指導(dǎo)性。
3.2圓柱正弦活齒傳動副的接觸強(qiáng)度模糊可靠性研究
在機(jī)械傳動系統(tǒng)中，由于受到彈性模量、幾何尺寸、載荷分配等因素的影響，各零件的工作應(yīng)力均具有隨機(jī)性，對此可用統(tǒng)計(jì)的方法將其視為隨機(jī)變量來處理；另一方面，由于受到各種客觀條件的限制，傳動零件的接觸強(qiáng)度等設(shè)計(jì)變量難以精確定量，存在亦此亦彼的狀態(tài)，將這種變量處理為模糊變量，用模糊集合與隸屬函數(shù)來描述�？紤]到應(yīng)力和強(qiáng)度作為隨機(jī)變量和模糊變量，因此機(jī)誡傳動系統(tǒng)的強(qiáng)度設(shè)計(jì)可按模糊可靠性設(shè)計(jì)方法進(jìn)行墓它突破了常規(guī)設(shè)計(jì)方法中將應(yīng)力、強(qiáng)度視為確定量而忽視其隨機(jī)性和模糊性的局限性，使設(shè)計(jì)結(jié)果更加趨于合理，因此更為接近實(shí)際情況。
3.2.l接觸應(yīng)力計(jì)算
圓柱正弦活齒傳動的嚙合副在載荷作用下，活齒分別與主動軸的外滾道及殼體的內(nèi)滾道接觸，一般滾道半徑取r′= (1.04-1.11)r,r為活齒半徑�；铨X與滾道的接觸問題，可看作兩自由曲面體的彈性接觸問題，根據(jù)赫茲（Hertz）應(yīng)力理淪，在外加總載荷F作用下兩自由曲面彈性體的接觸應(yīng)力計(jì)算公式為
ma、mb——與橢圓偏心率有關(guān)的系數(shù)，可根據(jù)∑k及F（k）查表得到；
F（k）——主曲率函數(shù)
；
∑k——主曲率和∑k=k11+k12+k21+k22，（1/mm）；
k11、k12——活齒齒面的兩個主曲率（1/mm）；
k21、k22——正弦滾道齒面的兩個主曲率（l/mm）。
由于嚙合副兩接觸面的材料相同，故選取彈性模量E1=E2=E，泊松比v1=v2=v。通過對圓柱正弦活齒傳動進(jìn)行受力分析可知，在正弦滾道的拐點(diǎn)附近，活齒與滾道間的接觸力及接觸應(yīng)力均達(dá)到最大值，因此活齒與正弦滾道齒面的最大接觸應(yīng)力公式可寫為
3.2.2接觸強(qiáng)度的模糊可靠性研究
滾道齒面從完好狀態(tài)到失效狀態(tài)，其許用應(yīng)力[σH]是一個漸進(jìn)的衰減過程，為了更真實(shí)的反映[σH]的模糊性，本文采用降半正態(tài)分布的隸屬函數(shù)來表示[σH]。降半正態(tài)分布的隸屬函數(shù)為
式中 u（x)- [σH]的隸屬度；a、b為分布系數(shù)。
隸屬函數(shù)曲線如圖3-1。
將F、∑k視為隨機(jī)變量，并近似按“3σ”法求出其均值μF、μk與標(biāo)準(zhǔn)差SF、Sk，根據(jù)文獻(xiàn)，彈性模量E、泊松比v均為隨機(jī)變量，且近似服從正態(tài)分布，彈性模量的變異系數(shù)對鋼而言不超過0.03，即彈性模量的標(biāo)準(zhǔn)差為6180MMPa，而泊松比的變異系數(shù)一般在2%-3%左右，則泊松比的標(biāo)準(zhǔn)差為0.009。按可靠度計(jì)算的一次二階矩原理，將齒面接觸應(yīng)力的表達(dá)式在基本變量的平均值點(diǎn)處展開成泰勒級數(shù)，僅取級數(shù)的線性項(xiàng)，則可近似求得應(yīng)力的均值μa與標(biāo)準(zhǔn)差Sσ分別為：
應(yīng)用數(shù)字仿真法求出零件的可靠度R，即在（O,1）內(nèi)產(chǎn)生均勻分布的隨機(jī)數(shù)作為閾值λ1，并利用式（3-7）計(jì)算此時零件的可靠度Rλi，在仿真次數(shù)n足夠大時，零件的可靠度可表示為：
3.2.3圓柱正弦活齒傳動接觸強(qiáng)度的可靠性計(jì)算
圓柱正弦活齒減速器的結(jié)構(gòu)和性能參數(shù)為Z1=1、Z3=4、A=4mm、r=4mm、輸出軸扭矩T=20N.m，其主要零件如活齒、主動軸、導(dǎo)架及殼體的材料選用GCr15，淬火后硬度為HRC=58～62，由于圓柱正弦活齒傳動采用二硫化鋁作為固體潤滑劑，考慮到二硫化鑰的最大抗壓強(qiáng)度為2800MPa，根據(jù)模糊數(shù)學(xué)中確定容差的擴(kuò)增系數(shù)法，該傳動的主要零件的許用接觸應(yīng)力選為2450～2800MPa。將上述參數(shù)代入式（3-4）、（3-5）中，求得主動軸正弦滾道與殼體正弦滾道接觸應(yīng)力的均值和方差，再利用式（3-8)，仿真次數(shù)n選取2000次，計(jì)算圓柱正弦活齒傳動正弦滾道的接觸強(qiáng)度的可靠度見表3-1。
表3-1滾道接觸強(qiáng)度的可靠度
| |
均值（MPa） |
方差（MPa） |
可靠度 |
| 主動軸 |
2322.9 |
192.12 |
0.9744 |
| 殼體 |
2325.7 |
172.31 |
0.9781 |
| 導(dǎo)架 |
2284.4 |
300.51 |
0.9145 |
由表3-1可知，導(dǎo)架的接觸強(qiáng)度可靠度最低，是整個系統(tǒng)可靠性的薄弱環(huán)節(jié)。因此，在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，應(yīng)盡量提高導(dǎo)架的接觸強(qiáng)度可靠度，以改善圓柱正弦活齒減速器系統(tǒng)的可靠性。
3.3減速器系統(tǒng)的模糊可靠性研究
故障樹分析是分析系統(tǒng)可靠性的一種方法，它根據(jù)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)或功能關(guān)系，利用圖形演繹的方法把故障傳遞的邏輯關(guān)系表達(dá)出來，對此可逐級分析系統(tǒng)故障發(fā)生的原因，對系統(tǒng)進(jìn)行故障概率的計(jì)算，以便采取相應(yīng)的措施，來提高系統(tǒng)的可靠性。
3.3.1減速器系統(tǒng)故障樹的建立
根據(jù)圓柱正弦活齒減速器的結(jié)構(gòu)及其實(shí)現(xiàn)的功能，采用自上而下的方法建立故障樹，首先選取“輸出軸不能傳遞扭矩”作為頂事件，然后找出導(dǎo)致頂事件的所有可能直接原因，作為第一級中間事件，用相應(yīng)的事件符號將其表達(dá)出來，并用適合的邏輯門符號表示中間事件與頂事件之間的邏輯關(guān)系。依此類推，逐級向下發(fā)展，直到找出引起系統(tǒng)故障的全部原因，作為底事件，由此建立了圓柱正弦活齒減速器的故障樹（圖3-2）。
3.3.2減速器系統(tǒng)故障樹的分析
故障樹的分析包括定性分析和定量分析。定性分析的主要任務(wù)是尋找故障樹的全部最小割集和最小路集，一個最小割集代表系統(tǒng)的一種失效模式，一個最小路集代表系統(tǒng)一種正常模式。通過對最小割集和最小路集的研究，可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)的薄弱環(huán)節(jié)和最關(guān)鍵的部分，以便針對具體對象采取相應(yīng)的措施，有利于維持和提高系統(tǒng)的功能。本本文只討論系統(tǒng)的失效模式，故須尋找出故障樹的最小割集即可。根據(jù)對圓柱正弦活齒減速器的故障樹分析得出最小割集為{xi}，i=1，2…，15。他們分別對應(yīng)系統(tǒng)15種失效模式。
故障樹的定量分析是運(yùn)用故障樹中建立的邏輯關(guān)系，根據(jù)底事件發(fā)生的概率推導(dǎo)出頂事件發(fā)生的概率，從而對系統(tǒng)的可靠性、安全性作出評價。故障樹中各種事件間的因果關(guān)系用各種“門”來描述，并且大多可以等效為邏輯“與門”和“或門”。根據(jù)“與門”和“或門”所表示的事件關(guān)系，并假設(shè)各個事件互相獨(dú)立，根據(jù)表3-2即可計(jì)算活齒減速器中各中間事件和頂事件的發(fā)生概率。
表中 P（T）——頂事件發(fā)生概率；
P（xi）——底事件發(fā)生概率，i=1，2，…，15；
P（Gi）——中間事件發(fā)生概率。i=1，2，…，9。
3.3.3圓柱正弦活齒減速器的模糊故障樹分析
故障樹分析重要的環(huán)節(jié)是獲得事件發(fā)生的概率。傳統(tǒng)的故障樹分析以布爾代數(shù)為基礎(chǔ)，把事件發(fā)生的概率處理成精確值，然而由于實(shí)際工作環(huán)境的模糊性及數(shù)據(jù)的不精確，會對確定事件的概率產(chǎn)生影響，因此難以用一精確值來表示事件發(fā)生的概率。在傳統(tǒng)故障樹分析中，當(dāng)事件發(fā)生的概率難以精確賦值時，可對故障樹進(jìn)行模糊分析。
3.3.3.1模糊分析的理論基礎(chǔ) 在故障樹的模糊分析中，采用模糊數(shù)來描述事件發(fā)蘭的概率。模糊數(shù)是由概念上的模糊性或各種模糊因素的影響而造成定量處理時的不確定性。以模糊數(shù)描述概率值，帶有人的主觀性，強(qiáng)調(diào)了人在系統(tǒng)可靠性分析與評價中的重要性。因此，故障樹的模糊分析不僅可減少獲取事件發(fā)生概率精確值的難度，而且能結(jié)合工程中的實(shí)際經(jīng)驗(yàn)和判斷構(gòu)造模糊數(shù)為隸屬函數(shù)，較準(zhǔn)確地把它們描述出來，并在一定程度上允許存在描述誤差，具有較大的靈活性和適應(yīng)性。
定義1 模糊數(shù)
為實(shí)數(shù)域R上的正規(guī)凸模糊集，其隸屬函數(shù)滿足
（1）maxμ（x）=1 x∈R
（2）μ（x）是逐段連續(xù)的
定義2 若模糊數(shù)的隸屬函數(shù)滿足
則稱模糊數(shù)為L-R型模糊數(shù)，L(x）、R(x）稱為模糊數(shù)的左、右參照函數(shù)。工程中，模糊數(shù)隸屬度為1的數(shù)通常只有一點(diǎn)，因此模糊數(shù)可表示=（m，a，β）。其中m是模糊數(shù)的均值，對應(yīng)隸屬度為l的數(shù)；a、β分別為左、右分布；當(dāng)a、β為零時，不是模糊數(shù)。分布a、β越大，越模糊。
常用的L-R參照函數(shù)為：
線性型參照函數(shù)在“完全屬于”和“完全不屬于”之間的中介狀態(tài)是線性變化的（圖3-3a），當(dāng)x≤m-α和x≥m+β時，μ=0，說明在（m-α，m+β）區(qū)間之外的數(shù)值完全不屬于該模數(shù)數(shù)。而其他兩種類型的隸屬函數(shù)曲線兩端延伸至無窮遠(yuǎn)（圖3-3b，c）說明整個數(shù)軸上的任何數(shù)總在一定程度上隸屬于該模糊數(shù)。在選擇參照函數(shù)時，除非有絕對的把握認(rèn)為該事件發(fā)生的概率在某個范圍之內(nèi)而選擇線性參照函數(shù)，否則，以選取正態(tài)型或尖型為好。
模糊數(shù)的代數(shù)運(yùn)算法則如下：
加法：（m，α，β）LR+（m+n，α+γ，β+δ）LR （3-13）
式（3-15）、（3-16）是近似的，嚴(yán)格地說，兩個L-R型模糊數(shù)葙乘或相除，其結(jié)果不再是L-R型模糊數(shù)。
3.3.3.2模糊算子AND和OR模糊算子AND和OR反映了“與門”和“或門”的模糊邏輯運(yùn)算。對于“與門”，其模糊算子為：
3.3.3.3圓柱正弦活齒減速器故障樹分析 根據(jù)圓柱正弦活齒減速器故障樹，用模糊算子ACD和OR描述基本事件間的邏輯關(guān)系，生成值值函數(shù)的模糊形式及用模糊算子表達(dá)的形式見表3-3。
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