第二章 齒輪聯(lián)軸器的剛度及阻尼
2.1 引言
齒輪聯(lián)軸器是一種可移式聯(lián)軸器，類型很多，且多數(shù)已經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化。齒輪聯(lián)軸器通常由四個部分組成，如圖2.1a、圖2.1b所示。它一般包含二個半聯(lián)軸器，每個半聯(lián)軸器又由一對齒數(shù)相等的內(nèi)嚙合齒輪（內(nèi)齒套和外齒輪）構(gòu)成。類型主要可分為CL型和CLZ型，以適合不同的使用目的。如果按齒形來分，則可分為直齒齒輪聯(lián)軸器和鼓形齒齒輪聯(lián)軸器等。
對于齒輪聯(lián)軸器的研究，以往人們比較注重其內(nèi)摩擦對系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，而忽視其在整體系統(tǒng)中的參振作用。關(guān)于齒輪聯(lián)軸器力學(xué)模型建立的討論較少，Marmol[34]對直齒聯(lián)軸器進(jìn)行了模化，考慮了齒輪聯(lián)軸器的橫向和轉(zhuǎn)角方向的變形及摩擦。用四個等效的剛度和阻尼系數(shù)來表征齒輪聯(lián)軸器的橫向振動特性，其中的轉(zhuǎn)角剛度是在內(nèi)外齒面分開及在輕載荷時才成立，而沒有考慮在重載不脫齒時的情況，同時也未對扭轉(zhuǎn)振動特性進(jìn)行分析。因此這方面的研究應(yīng)進(jìn)一步深入。
本章首先在外齒輪嚙合的基礎(chǔ)上，提出了二梯形當(dāng)量齒形法建立了直齒齒輪聯(lián)軸器內(nèi)齒套和外齒輪輪齒的變形和剛度計(jì)算模型。其次，分析了作用在齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)上的受力情況，并根據(jù)一些必要的假設(shè)，利用六個等效的剛度、阻尼系數(shù)來刻劃半聯(lián)軸器系統(tǒng)的力學(xué)行為。最后，通過實(shí)驗(yàn)對作用于某CL型齒輪聯(lián)軸器上的彎矩進(jìn)行實(shí)測，根據(jù)實(shí)測結(jié)果來確定齒輪聯(lián)軸器的轉(zhuǎn)角剛度，并對內(nèi)外齒輪之間的接觸情況作出判斷，從而可以在實(shí)際系統(tǒng)的動力學(xué)分析中，比較合理地選擇齒輪聯(lián)軸器的動力特性。
2.2 直齒聯(lián)軸器輪齒變形分析—二梯形當(dāng)量齒形法
在分析大型的軸承—轉(zhuǎn)子—齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)的振動時，文獻(xiàn)[34]將其中的聯(lián)軸器看成是一個質(zhì)量彈簧阻尼器系統(tǒng)，而彈性系數(shù)的確定需要知道輪齒的變形，下面就針對輪齒的變形特點(diǎn)進(jìn)行分析計(jì)算。對于輪齒變形或剛度的計(jì)算方法很多[84]，但通常采用當(dāng)量齒形法、有限元法[85～87]等。當(dāng)量齒形法是將齒廓用一個矩形和一個梯形來模擬漸開線齒形，輪齒的總變形包括矩形和梯形的彎曲變形、剪切變形、由輪齒基體的彈性傾斜所引起的輪齒的變形以及輪齒的Hertz接觸變形。以上的計(jì)算方法是基于外齒輪嚙合情況的，而對于內(nèi)齒輪嚙合尤其是對齒輪聯(lián)軸器時就不適合，因?yàn)橹饼X輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒的齒面形狀幾乎完全一樣，接觸面較大，此時，其中的Hertz接觸變形模型不適用，而應(yīng)代之以材料的整體的壓縮變形模型[34]。用當(dāng)量齒形法計(jì)算內(nèi)齒輪的變形時當(dāng)量矩形的高度也不好確定，即使如外齒輪一樣來選取，但也因內(nèi)外齒的輪廓存在差異而產(chǎn)生較大誤差。Marmol[34]將齒面劃分成一系列的矩形條，如圖2.2a所示，這樣計(jì)算的精度與所取的矩形條的數(shù)目有關(guān)，并且計(jì)算工作量較大。
本文將輪齒的齒廓劃分為二個梯形，用二個梯形的彎曲變形、剪切變形、由輪齒基體的彈性傾斜所引起的輪齒的的變形以及輪齒的材料壓縮變形來模擬內(nèi)齒的輪齒變形，故稱之為二梯形當(dāng)量齒形法。這樣處理與Marmol的方法相比更接近實(shí)際的齒廓形狀，而且與外嚙合輪齒的梯形加矩形模型正好對應(yīng)。下面就介紹二梯形當(dāng)量齒形法，將內(nèi)齒輪輪齒劃分為上、下二個梯形，如圖2.2b所示。
2.2.1 下梯形部分的變形
幾何尺寸
式中 hr為下梯形高度，Sf為齒根厚，Sk為截面齒厚。
（1）彎曲變形及柔度
在截面x處的彎矩
M（x）=Fncosωx[x-（hil-hx] （2.2）
式中 Fn為節(jié)圓處的法向載荷，ωx為節(jié)圓載荷角，hx為嚙合點(diǎn)的高度。
在截面x處的慣性矩
式中 b為齒寬。
由卡氏定理，這部分的彎曲變形為
式中 M（x）為在截面x處的彎矩，E為材料的彈性模量。由式（2.4）可得
（2）剪切變形及柔度
式中 μ為材料的泊松比。
2.2.2 上梯形部分的變形
幾何尺寸
式中 S為節(jié)圓齒厚。
（1）彎曲變形及柔度
在截面x處的彎矩
M（x）=Fncosωx[x-hi2-hx] （2.10）
在截面x處的慣性矩
（2）剪切變形及柔度
2.2.3 輪齒基體的彈性傾斜引起的變形
根部的應(yīng)力狀態(tài)比較復(fù)雜，在此把它看成是線性分布[85]，如圖2.3所示
在齒根處的彎矩
式中 σ為最大齒根應(yīng)力，a為幾何參數(shù)。
相應(yīng)的法向柔度為
2.2.4 整體材料的壓縮變形
相應(yīng)的柔度[34]為
注：文獻(xiàn)[34]中的E已計(jì)及了泊松比的影響。
輪齒總的法向柔度
q=qB1+qS1+qB2+qS2+qG+qH （2.21）
2.3 二梯形當(dāng)量齒形法與有限元法的比較
本文采用CL5型齒輪聯(lián)軸器[88]的輪齒作為計(jì)算模型，其中齒輪模數(shù)m=3，hx=3mm，b=25mm，α=20°，E=206GPa，μ=0.3。采用二梯形當(dāng)量齒形法計(jì)算，取hr≈hx/2，結(jié)果見表2.1，取hr≈hx/3時，計(jì)算結(jié)果見表2.2。
表2.1 各項(xiàng)柔度的計(jì)算值hr≈hx/2 m/N
| |
qB1 |
qS1 |
qB2 |
qS2 |
qG |
qH |
q |
| 內(nèi)齒 |
5.945×10-11 |
1.063×10-10 |
1.554×10-11 |
1.358×10-10 |
1.774×10-10 |
7.821×10-11 |
5.728×10-10 |
| 外齒 |
1.601×10-10 |
1.470×10-10 |
3.432×10-11 |
1.758×10-10 |
3.978×10-10 |
6.257×10-11 |
9.776×10-10 |
表2.2 各項(xiàng)柔度的計(jì)算值hr≈hx/3 m/N
| |
qB1 |
qS1 |
qB2 |
qS2 |
qG |
qH |
q |
| 內(nèi)齒 |
4.424×10-11 |
6.818×10-11 |
3.071×10-11 |
1.737×10-10 |
1.774×10-10 |
7.821×10-11 |
5.724×10-10 |
| 外齒 |
1.220×10-10 |
9.546×10-11 |
7.207×10-11 |
2.280×10-10 |
3.978×10-10 |
6.257×10-11 |
9.779×10-10 |
比較表2.1和表2.2可知，二者對應(yīng)的各項(xiàng)柔度值雖有較大的變化，但總的柔度q卻變化甚微，其內(nèi)外齒柔度的和相差更小。因此下梯形的高度的取值對齒對的柔度影響很小。
為了與上述方法進(jìn)行數(shù)值比較，在此對內(nèi)、外齒輪的輪齒進(jìn)行有限元法分析。輪齒的有限元網(wǎng)格劃分見圖2.4，輪齒網(wǎng)格的輪廓盡量模擬自然邊界。考慮到彈性基座的傾斜對柔度的影響較大，因此本文取AB=6m，AD=3.25m（m是齒輪的模數(shù)）。載荷的分布與齒對的接觸情況有關(guān)，對于齒輪聯(lián)軸器齒面接觸比較特殊。本文將載荷均勻地分布于工作齒面上。節(jié)圓處的切向柔度為qt，相應(yīng)的法向柔度[89]q=qtcos2α。計(jì)算結(jié)果見表2.3.
表2.3 有限元法計(jì)算輪齒的柔度值 m/N
| |
切向柔度 |
法向柔度 |
相對差百分比 |
| 內(nèi)齒 |
6.780×10-10 |
5.987×10-10 |
-4.595% |
| 外齒 |
1.004×10-9 |
8.868×10-10 |
9.288% |
| 齒對 |
1.682×10-9 |
1.486×10-9 |
4.129% |
對內(nèi)齒而言用當(dāng)量齒形法所計(jì)算得的柔度值要比用有限元法所得值小，兩者相差4.595%左右，如果僅從模型上來考慮，那么在用兩梯形來模擬漸開線齒形對時，將齒廓漸開線用兩條直線來代替，無形中使輪齒增加了小部分材料導(dǎo)致內(nèi)齒的剛度增大，柔度減少。對外齒則相反。而齒對柔度二者相差4.129%，得到了補(bǔ)償。有了內(nèi)、外齒的柔度就可以計(jì)算出齒對的剛度。需要指出的是對于鼓形齒的輪齒剛度計(jì)算，由于內(nèi)外齒輪輪齒間的接觸面積較小，仍可按Hertz接觸變形計(jì)算。
作為先進(jìn)的現(xiàn)代工程分析方法，有限元法在齒輪輪齒的強(qiáng)度和剛度分析中有著較廣泛的應(yīng)用。但在大型的軸承—轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動力學(xué)分析中，一方面由于系統(tǒng)非常龐大，如果采用有限元法來計(jì)算輪齒的剛度，那么會大大地增加計(jì)算工作量；另一方面由于有限元法本身比較復(fù)雜，給編程帶來不便。
上述的分析計(jì)算，結(jié)果表明二梯形當(dāng)量齒形法易于編程，方法簡單，且能滿足工程計(jì)算精度要求，因此在后面各章中凡涉及到齒輪聯(lián)軸器輪齒剛度計(jì)算時，均采用二梯形當(dāng)量齒形法。
2.4 齒輪聯(lián)軸器的剛度和阻尼
對于圖2.1所示的齒輪聯(lián)軸器系統(tǒng)，將其中的內(nèi)齒套和外齒輪均看成具有質(zhì)量和轉(zhuǎn)動慣量的圓盤，兩半聯(lián)軸器之間的部分�；梢惠S段。由于齒輪聯(lián)軸器的左右結(jié)構(gòu)相似（參見圖2.1），處理方法類同，因此下面重點(diǎn)來討論其中的一半（即半齒輪聯(lián)軸器）的力學(xué)模型。為使問題簡化現(xiàn)作如下假設(shè)：1）齒側(cè)接觸且不脫開，不計(jì)齒形及齒節(jié)等誤差。2）每個輪齒承載相同。3）小擾動工況，半齒輪聯(lián)軸器的剛度系數(shù)在穩(wěn)態(tài)下進(jìn)行線性化。4）阻尼用等效粘性系數(shù)來�；�。
2.4.1 半齒輪聯(lián)軸器受力分析
齒輪聯(lián)軸器上的受力是比較復(fù)雜的，對于外齒輪而言，除了與聯(lián)軸器連接的軸段對其的作用力外，還有內(nèi)齒套對外齒輪的作用力。轉(zhuǎn)子系統(tǒng)在運(yùn)動過程中，內(nèi)外齒輪之間要發(fā)生相對運(yùn)動，由于齒面間存在變形和摩擦，因此在外齒輪的齒面上會產(chǎn)生與齒面垂直的正壓力Ni和與齒面相切的摩擦力Fi，見圖2.5a。如果將各齒面上的作用力分別向外齒輪的中心O簡化可以得到作用于O點(diǎn)的一個力和一個力偶，并將該力和力偶分別分解到三個軸上，得到三個分力Fξ、Fη、Fz三個力偶矩Mξ、Mη、Mz，如圖2.5b所示。
對于直齒聯(lián)軸器，由于沿Z方向的軸向力FZ較小，故將其忽略，將上述的力和力偶矩分別在穩(wěn)態(tài)下進(jìn)行線性化，則可得
其中 Fξ0，F(xiàn)η0，Mξ0，Mη0，Mz0分別為在穩(wěn)態(tài)下內(nèi)齒套作用在外齒輪上的作用力和力偶。
△Fξ，△Fη，△Mξ，△Mη，△Mz分別為相應(yīng)的動態(tài)力和動態(tài)力偶矩。
在理想狀態(tài)下
Fξ0=Fη0=Mξ0=Mη0=0
Mz0=T （2.23）
式中 T為聯(lián)軸器所傳遞的扭矩。
根據(jù)前面的假設(shè)，將內(nèi)外齒輪間的動態(tài)力和動態(tài)力偶用半齒輪聯(lián)軸器的等效剛度和阻尼系數(shù)來表示，則可得
式中 kξ，kη分別為半齒輪聯(lián)軸器沿ξ，η軸的橫向剛度系數(shù)。
kε，kδ分別為半齒輪聯(lián)軸器繞ξ，η軸的轉(zhuǎn)角剛度系數(shù)。
kt為半齒輪聯(lián)軸器繞z軸的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)。
式中 cξ，cη分別為半齒輪聯(lián)軸器沿ξ，η軸的橫向阻尼系數(shù)。
cε，cδ分別為半齒輪聯(lián)軸器繞ξ，η軸的轉(zhuǎn)角阻尼系數(shù)。
ct為半齒輪聯(lián)軸器繞z軸的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)。
△ξ，△η，△ε，△δ，△θ分別為半齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪中心處的相對橫向位移、轉(zhuǎn)角位移和扭轉(zhuǎn)角位移。
分別為半齒輪聯(lián)軸器內(nèi)外齒輪中心處的相對橫向速度、角速度和扭轉(zhuǎn)角速度。
在上述的剛度和阻尼系數(shù)中，如果齒輪聯(lián)軸器對中良好，沿ξ，η二個方向的力學(xué)行為基本相同，則齒輪聯(lián)軸器的剛度和阻尼可簡化為六系數(shù)，并用kl，ka統(tǒng)一表示為橫向剛度系數(shù)和轉(zhuǎn)角剛度系數(shù)；cl，ca則分別表示為橫向阻尼系數(shù)和轉(zhuǎn)角阻尼系數(shù)。
根據(jù)作用與反作用定律，可以寫出外齒輪對內(nèi)齒套的作用力關(guān)系，在此從略。下面就重點(diǎn)來討論這六個剛度和阻尼系數(shù)的建立過程。
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