3.2.4.1 聯(lián)立方程的求取
由建立的坐標(biāo)系可知:
在定坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中輸入軸的三滑道軸線m1、m2、m3方程為:
在動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″中三叉桿軸頸的軸線n1、n2、n3方程為:
定坐標(biāo)系O′X′Y′Z′與定坐標(biāo)系OXYZ之間的四階變換矩陣為:
下面討論如何在固定坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中表達(dá)出三叉桿軸線的參數(shù)方程。
為求出這個參數(shù)方程,我們必須解決動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″同定坐標(biāo)系OXYZ之間的坐標(biāo)變換矩陣[Moo″]。
已知O″點(diǎn)在OXYZ中的坐標(biāo)為:
由于動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″的O″Y″軸取得始終垂直于固定坐標(biāo)系OX軸,可認(rèn)為先把OXYZ坐標(biāo)系繞OX軸轉(zhuǎn)過夾角θx,使OY軸與O″Y″軸平行,再繞新的OY軸轉(zhuǎn)過θy,使OX軸與O″X″軸平行,OZ軸也同時平行于O″Z″軸(變換空間位置如圖3-6所示)。則固定坐標(biāo)OXYZ與動坐標(biāo)系間的變換關(guān)系如下:
所以有:
因O″Z″與OZ的交點(diǎn)S在OXYZ坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(O,O,L),在O″X″Y″Z″坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為(O,O,),代入式(3-5)
可推出:
由式(3-6)可知|θy|<θ,|θx|<θ一般來說θ值非常小,則θy和θx則更小。到此方向余弦矩陣[Coo″]的所有項(xiàng)均可求出。其具體的形式如下(為簡化書寫將θy作為已知參數(shù)代入):
于是動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″與定坐標(biāo)系OXYZ之間的四階變換矩陣[Moo″]為:
其中tgθ=,(L為圓錐擺中軸線長,P為圓錐擺底圓半徑(見圖3-3))
又坐標(biāo)系O′X′Y′Z′與坐標(biāo)系O″X″Y″Z″之間的四階變換矩陣為:
[Mo′o″]=[Mo′o] [Moo″]
故三叉桿軸頸的軸線方程由坐標(biāo)系O″X″Y″Z″轉(zhuǎn)到坐標(biāo)系O′X′Y′Z′為:
(3-7)式中A1、A2、A3、A4、B1、B2、B3、B4、C1、C2、C3、C4等于其在矩陣[Mo′o″]中對應(yīng)位置的表達(dá)式。
將式(3-3)同式(3-9)式聯(lián)立,則有:
3.2.4.2 輸入、輸出轉(zhuǎn)角關(guān)系的求取
由式(3-10)中的(1)、(2)兩式,消去x″,即可求出輸入角同輸出角的關(guān)系。
(A1+tg·A2)sin-(B1+tg·B2)cos+(B1+tg·B2)-(A1+tg·A2)=0 (3-11)
在式(3-11)中略去sinθ的平方和高次項(xiàng)(根據(jù)實(shí)際情況p<<L,故θ也非常。瑫r令cosθy≈1(由式(3-6)可知是合理的)。則可得出輸入同輸出轉(zhuǎn)角關(guān)系:
轉(zhuǎn)角關(guān)系:-≈tgβtg2cos3(此處單位為弧度,后面的分析中轉(zhuǎn)化為度) (3-12)
速比關(guān)系:=≈1-tgβtg2sin3(單位為弧度/秒) (3-13)
3.2.4.3 小桿的運(yùn)動分析
3.2.4.3.1 小桿相對于滑道的運(yùn)動
對式(3-10)中的第(3)式作近似處理sinθ≈≈0,cosθ≈1(實(shí)際上p<<L,近似處理是合理的),則可得到三小桿的球面中心P在固定坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中的運(yùn)動軌跡:
由式(3-14)則有小桿在滑道中的滑動位移即為坐標(biāo)z′值,由于三小桿的滑動位移是相同的,可取其中之一進(jìn)行表示,令h1為其位移量則可表示為:
h1=Rtgβcos-[cosβsin+cos]cos3
小桿球面中心P在定坐標(biāo)系O′X′Y′Z′中的坐標(biāo)(x′y′z′)表示成向量形式為:=(x′,y′,z′),將其對時間t求導(dǎo)得到:,則P點(diǎn)的絕對速度為vp=。
其中:
上式中作=wo==wi的處理(三叉桿式萬向聯(lián)軸器輸入同輸出的轉(zhuǎn)角差值很小,可以認(rèn)為是等角速傳動,這在后面的分析中可以證明。)=vpz是小桿沿著滑道的相對速度,將速度再次對時間t求導(dǎo)可得小桿運(yùn)動的加速度:(其中=αpz是小桿沿著滑道的相對加速度)。
假設(shè)輸入軸的轉(zhuǎn)速為定值,則ε==o,此時:
3.2.4.3.2 小桿(球面中心P)相對于三叉桿軸頸的運(yùn)動小桿的球面中心P在動坐標(biāo)系O″X″Y″Z″中的參數(shù)方程為:
(方程中hj為小桿的球面中心P到三叉桿軸線的距離,因?yàn)槿U運(yùn)動相同,故取其中之一分析,可令j=0)
將(3-17)式代入(3-10)式中第(2)個方程可得
Rsin=B1hocos+B2hosin+B4
由=,cosθ≈1,sinθ≈0則可得出小桿球面中心P沿著三叉桿軸頸相對位移量為:
ho=R-P-2Pcos2 (3-18)
將位移ho對時間t求導(dǎo)可得小桿球面中心P沿三叉桿軸頸的相對速度:
4PWosin2 (3-19)
將速度再次對時間t求導(dǎo)可得小桿球面中心P沿三叉桿軸頸的相對加速度:
==8cos2 (3-20)
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