第4章 圓柱正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性研究
4.1引言
機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)把運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力由動(dòng)力源傳遞給機(jī)器執(zhí)行件的工作過程中，經(jīng)常會(huì)受到激振力和激振力矩的作用，從而使傳動(dòng)系統(tǒng)的零部件產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)，振動(dòng)將直接影響到機(jī)械系統(tǒng)的精度、效率、壽命、安全性和可靠性，由此而產(chǎn)生的噪音也對(duì)環(huán)境產(chǎn)生干擾和危害。因此在設(shè)計(jì)機(jī)械傳動(dòng)系統(tǒng)時(shí)，必須考慮將振動(dòng)的量級(jí)控制在一定范圍內(nèi)，以保證系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)特性。為設(shè)計(jì)高性能的圓柱正弦活齒減速器，了解該傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，有必要對(duì)其進(jìn)行扭振動(dòng)力學(xué)分析，以便評(píng)價(jià)其振動(dòng)水平，并找出影響動(dòng)態(tài)特性的薄弱環(huán)節(jié)，從而為進(jìn)一步動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)、提高減速器的動(dòng)態(tài)性能提供了理論依據(jù)。評(píng)價(jià)傳動(dòng)裝置的動(dòng)態(tài)性能通常有試驗(yàn)法和計(jì)算法兩種方法。一般情況下，試驗(yàn)法可獲得較準(zhǔn)確的結(jié)果，但只適用于評(píng)價(jià)給定的實(shí)物或模型。而計(jì)算法通過建立動(dòng)力學(xué)模型，在設(shè)計(jì)階段就可獲得評(píng)價(jià)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能所需的各種數(shù)據(jù)資料，并可根據(jù)分析結(jié)果來進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，從而在設(shè)計(jì)階段就能得到一個(gè)具有良好動(dòng)態(tài)特性的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方案，因此計(jì)算方法比試驗(yàn)法更經(jīng)濟(jì)實(shí)用，但數(shù)學(xué)模型的建立具有一定的難度。
用計(jì)算方法對(duì)減速器系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析時(shí)，其常用的數(shù)學(xué)模型有集中參數(shù)模型、分布質(zhì)量模型和有限元模型三種。其中，有限元法是一種比較成熟的方法，并有現(xiàn)成的商用程序軟件（如NASTRAN,SUPGl,I-DEAS等）可供用戶使用，但它要求用戶有相當(dāng)高的分析與判斷能力以及豐富的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)。該方法建立的動(dòng)力學(xué)模型雖然精度較高，但只能用來分析參數(shù)固定的減速器，面對(duì)參數(shù)化的系列減速器，應(yīng)用有限元法進(jìn)行分析就顯得非常繁瑣，并且費(fèi)時(shí)費(fèi)力、效率低。而且在下一章的動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)中需要對(duì)具有不同設(shè)計(jì)參數(shù)的減速器進(jìn)行動(dòng)態(tài)分析以獲得訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的樣本，此時(shí)有限元法就顯得無能為力。因此，在本次研究過程中，采用了以集中參數(shù)模型表示的拉格朗日法，該方法基于系統(tǒng)能量的觀點(diǎn)去分析系統(tǒng)，建立系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，由于能量法中使用的量是標(biāo)量（動(dòng)能、勢(shì)能、功），而不是向量（位移、力等），因而使對(duì)問題的描述更為簡潔、容易和全面，且計(jì)算結(jié)果完全可以滿足工程實(shí)際的需要。本章利用拉格朗日方程建立了該減速器的扭振動(dòng)力學(xué)方程，計(jì)算了它的動(dòng)態(tài)參數(shù)和能量分布，對(duì)減速器系統(tǒng)進(jìn)行計(jì)算、分析和評(píng)價(jià)，找出了其薄弱環(huán)節(jié)，為進(jìn)一步提高其動(dòng)態(tài)特性提供了理論依據(jù)。應(yīng)用Pro/ENGINEER建立起減速器的三維實(shí)體模型，利用ANSYS有限元分析軟件對(duì)圓柱正弦活齒減速器的關(guān)鍵傳動(dòng)件進(jìn)行了模態(tài)分析。
4.2系統(tǒng)扭振動(dòng)力學(xué)模型的建立
為分析圓柱正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，首先需要根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)建立其動(dòng)力學(xué)模型。圓柱正弦活齒傳動(dòng)的結(jié)構(gòu)簡圖如圖4-1所示。
根據(jù)各種零件動(dòng)力學(xué)作用的不同，可把組成系統(tǒng)的各元件分成兩類，即慣性元件和彈性元件。慣性元件指的是各軸及軸上的旋轉(zhuǎn)質(zhì)量，如齒輪、軸上直徑較大的凸緣等盤類零件。當(dāng)傳動(dòng)系統(tǒng)發(fā)生扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)，它們對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)作用，主要反映在轉(zhuǎn)動(dòng)慣量方面，所以稱之為慣性元件。彈性元件是指兩慣性元件之間的軸段，它可以不計(jì)質(zhì)量而只考慮扭轉(zhuǎn)變形，它對(duì)振動(dòng)系統(tǒng)的作用在于本身的扭轉(zhuǎn)剛度。
建立圓柱正弦活齒減速器扭振動(dòng)力學(xué)模型時(shí)，將活齒和其它質(zhì)量較大而長徑比較小的零件作為只有慣性而無彈性的慣性元件。把同一軸上各慣性元件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量根據(jù)實(shí)際情況，轉(zhuǎn)換到該軸的兩端，形成兩個(gè)等效圓盤。計(jì)算兩剛性圓盤之間所有軸段的扭轉(zhuǎn)剛度和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，將各軸段的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量迭加到該軸的兩慣性元件上（一般可平均分配），各軸段的扭轉(zhuǎn)剛度轉(zhuǎn)換成一個(gè)彈性軸段的扭轉(zhuǎn)剛度，其值應(yīng)與兩慣性元件之間實(shí)際軸段的扭轉(zhuǎn)剛度相等。
對(duì)于圖4-2a所表示的活齒與主動(dòng)軸之間、活齒與導(dǎo)架之間、活齒與殼體之間的嚙合副而言，當(dāng)嚙合處的彈性變形不能忽略時(shí)，可以引入一個(gè)等效的彈性軸段，視為一個(gè)彈性元件，如圖4-2b所示。
根據(jù)上面敘述的方法，可以建立起如圖4-3所示的動(dòng)力學(xué)模型。為便于分析，將圓柱正弦活齒傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型簡化，由于在一個(gè)工作周期中，各活齒在扭振方向的工作狀態(tài)完全相同，故可將所有的活齒等效為一個(gè)慣性元件，并根據(jù)熱能不變的原則，將各活齒副的嚙合剛度轉(zhuǎn)化為等效的扭轉(zhuǎn)剛度，然后疊加得出整體的等效扭轉(zhuǎn)剛度。由此，各活齒與主動(dòng)軸、導(dǎo)架及殼體間并聯(lián)的彈性連接和阻尼分別等效為一個(gè)彈性軸段。等效簡化后的動(dòng)力學(xué)模型如圖4-4所示。
4.3系統(tǒng)扭振數(shù)學(xué)模型的建立
將上述模型進(jìn)一步轉(zhuǎn)換成鏈狀結(jié)構(gòu)。此時(shí)，需將圖4-4中各軸上的剛性圓盤和彈性軸段轉(zhuǎn)換到同一軸線上，構(gòu)成單一軸線的等效圓盤系統(tǒng)的扭振動(dòng)力學(xué)模型。轉(zhuǎn)換時(shí)，可轉(zhuǎn)換到輸出軸上，也可轉(zhuǎn)換到輸入軸或中間任一傳動(dòng)軸上。轉(zhuǎn)換中，按轉(zhuǎn)換前后系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能保持不變的原則。將所有參數(shù)轉(zhuǎn)換到輸入軸上，設(shè)φ1′、φ2′、φ3′和φ1、φ2、φ3分別為轉(zhuǎn)換前后各慣性元件的扭轉(zhuǎn)角，按傳動(dòng)比關(guān)系有：
φ1′=φ1；φ2′=φ2/i；φ3′=φ3/i （4-1）
式中 i——減速器的傳動(dòng)比。
轉(zhuǎn)換前系統(tǒng)的功能T、勢(shì)能V和阻尼功D分別為：
式中 I1——主動(dòng)軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg·m2）；
I2——活齒等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg·m2）；
I3——導(dǎo)架轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg·m2)；
ke1——主動(dòng)軸與活齒間的等效扭轉(zhuǎn)剛度（N·m/rad）；
ke2——導(dǎo)架與活齒間的等效扭轉(zhuǎn)剛度（N·m/rad）；
ke3——?dú)んw與活齒間的等效扭轉(zhuǎn)剛度（N·m/rad）；
Cel——主動(dòng)軸與活齒間的等效扭轉(zhuǎn)阻尼（N·m·s/rad）；
Ce2——導(dǎo)架與活齒間的等效扭轉(zhuǎn)阻尼（N·m·s/rad）；
Ce3——?dú)んw與活齒間的等效扭轉(zhuǎn)阻尼（N·m·s/rad）。
根據(jù)轉(zhuǎn)換前后系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和阻尼功保持不變的原則，將式（4-1）代入式（4-2）中，得到轉(zhuǎn)換后系統(tǒng)的動(dòng)能、勢(shì)能和阻尼功分別為：
對(duì)轉(zhuǎn)換成鏈狀結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)，應(yīng)用拉格朗日法建立系統(tǒng)的扭振動(dòng)力學(xué)方程，系統(tǒng)中帶有粘性阻尼，因此列出含有耗散函數(shù)的拉格朗日方程
式 L——拉格朗日函數(shù)L=T-V；
φi——廣義坐標(biāo)（i=1，2，3）；
Qi——廣義力（N）（i=1，2，3）。
將式（4-3）代入拉格朗日方程（4-4）中，得到系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程如下所示：
將式（4-5）用矩陣形式表達(dá)，則系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可寫為：
4.4系統(tǒng)固有特性及勢(shì)能分布率
系統(tǒng)固有頻率以及相應(yīng)主振型表現(xiàn)了系統(tǒng)的固有特性，其數(shù)值只跟系統(tǒng)本身的參數(shù)有關(guān)，而與其它條件無關(guān)。通過研究系統(tǒng)的固有特性，可對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)性能進(jìn)行分析，并根據(jù)分析結(jié)果修改結(jié)構(gòu)參數(shù)，以達(dá)到對(duì)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的目的。
4.4.1系統(tǒng)固有頻率和主振型
在分析和評(píng)價(jià)減速器系統(tǒng)扭振特性時(shí)，需要計(jì)算系統(tǒng)的各階固有頻率以及相應(yīng)的主振型，這就要求解系統(tǒng)的無阻尼自由振動(dòng)方程。當(dāng)系統(tǒng)自由振動(dòng)時(shí)，激振力矩和阻尼均為零，此時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程可表示為
為求解系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)方程，在微振動(dòng)的情況下，方程（4-7）的解可寫成如下形式：
式中 ω——固有圓頻率（rad/s)；
{φ}——角位移的振幅列向量。
將式（4-8）代入式（4-7）中，并消去因子Sinωt，得到
（[K]-ω2[M]）{φ}=0 （4-9）
ω2和{φ}又稱為廣義特征值和廣義特征向量。由此，求解系統(tǒng)固有頻率和主振型的問題就轉(zhuǎn)化為求解方程（4-9）的廣義特征值和廣義特征向量的問題。
4.4.2模態(tài)柔度和勢(shì)能分布率
為使設(shè)計(jì)的系統(tǒng)具有良好的動(dòng)態(tài)特性，在建立了反映傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，可對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行修改和優(yōu)化設(shè)計(jì)。通常是要求把結(jié)構(gòu)的振動(dòng)強(qiáng)度或動(dòng)柔度限制在一定的范圍內(nèi)。關(guān)鍵過程是首先找出結(jié)構(gòu)的薄弱環(huán)節(jié)，然后有針對(duì)性的修改薄弱環(huán)節(jié)的局部結(jié)構(gòu)，從而使整個(gè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性滿足要求。為此需對(duì)系統(tǒng)的模態(tài)柔度和勢(shì)能分布率進(jìn)行考察。
由于系統(tǒng)的最大能量Emax是與振型向量{Θ}的平方成正比的，不論阻尼大小如何，這個(gè)比例關(guān)系總是一定的。因此，模態(tài)柔度是一個(gè)與阻尼無關(guān)的參數(shù)，其大小僅取決于系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)和物理參數(shù)。改變結(jié)構(gòu)參數(shù)、物理參數(shù)的大小和配置方式，均將使其發(fā)生明顯的變化。系統(tǒng)的第s階模態(tài)柔度R(s）的定義為
式中φ(S)n+1——系統(tǒng)末端在第s階模態(tài)振動(dòng)時(shí)的扭振幅值（rad）；
Ui(S)——系統(tǒng)中第i個(gè)彈性元件在第s階模態(tài)振動(dòng)時(shí)的熱能。其值為
式中φi(S)——系統(tǒng)中第i個(gè)彈性元件在第s階模態(tài)振動(dòng)時(shí)的轉(zhuǎn)角（rad）。
模態(tài)柔度的大小表明了該階模態(tài)的危險(xiǎn)程度。模態(tài)柔度越大，該階模態(tài)越危險(xiǎn)。但并不能僅憑模態(tài)柔度值來分析造成模態(tài)危險(xiǎn)的原因，為確定結(jié)構(gòu)修改的部位和修改內(nèi)容，還必須考察各個(gè)彈性元件的勢(shì)能或勢(shì)能分布率。勢(shì)能分布率定義為
勢(shì)能分布率的大小表明系統(tǒng)中彈性元件變形能的大小，勢(shì)能分布率最大的元件也就是系統(tǒng)的最薄弱環(huán)節(jié)，即造成該階模態(tài)危險(xiǎn)的主要原因。據(jù)此可以確定相應(yīng)的改進(jìn)措施，以提高系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。
4.5扭振動(dòng)力學(xué)模型參數(shù)的確定
為求解圓柱正弦活齒減速器扭振動(dòng)力學(xué)模型，首先要確定模型中的參數(shù)，其中包括幾何參數(shù)、物理參數(shù)和外載荷參數(shù)。幾何參數(shù)通過對(duì)減速器系統(tǒng)結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)來確定，物理參數(shù)包括質(zhì)量參數(shù)（如轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）、剛度參數(shù)（如活齒副嚙合剛度）和阻尼參數(shù)（如軸類零件扭轉(zhuǎn)阻尼）。下面給出活齒等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、活齒副等效扭轉(zhuǎn)剛度和軸類零件扭轉(zhuǎn)阻尼的計(jì)算方法。
4.5.1慣性元件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
在圓柱正弦活齒傳動(dòng)中，所有活齒不僅沿圓周方向作等速旋轉(zhuǎn)，同時(shí)還在軸句方向發(fā)生位移。為簡化系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，需根據(jù)動(dòng)能不變的原理，將所有活齒等效為一個(gè)慣性元件。
所有活齒的總動(dòng)能：
n——活齒個(gè)數(shù)；
R——活齒在圓周方向的分布半徑（mm）；
vi——單個(gè)活齒沿軸線方向運(yùn)動(dòng)速度vi=Aω0Z3cos（Z3φi），（mm/s）；
I2′——單個(gè)活齒轉(zhuǎn)動(dòng)慣量
ωzi——活齒自轉(zhuǎn)角速度
r——活齒半徑（mm）；
ω0——活齒在圓周方向的旋轉(zhuǎn)角速度（rad/s）；
m0——單個(gè)活齒的質(zhì)量
ρ——活齒的材料密度（kg/mm3）。
根據(jù)轉(zhuǎn)換前后動(dòng)能不變的原則，可列下式：
由式（4-14）整理得到活齒等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：
4.5.2彈性元件的扭轉(zhuǎn)剛度
活齒副的嚙合剛度是指工作時(shí)活齒副共同抵抗變形的能力，它與嚙合副的綜合彈性變形有關(guān)，在點(diǎn)接觸的情況下，兩接觸體變形趨近量為
式中 F——接觸點(diǎn)處法向作用力（N）；
——赫茲系數(shù)；
∑ρ——主曲率和（1/mm）。
活齒副的嚙合剛度可表示為
單個(gè)活齒副嚙合剛度對(duì)整體剛度的貢獻(xiàn)是角度的函數(shù)，不能簡單疊加。因此需要先根據(jù)勢(shì)能不變的原則，將各活齒副嚙合剛度轉(zhuǎn)化為等效的扭轉(zhuǎn)剛度，然后疊加得出整體的等效的扭轉(zhuǎn)剛度。
對(duì)于活齒與主動(dòng)軸（或殼體）正弦滾道的嚙合副來說，主動(dòng)軸的角位移△φ在接觸點(diǎn)作用力的方向上產(chǎn)生的等價(jià)線位移為
xi=R2△φ2·sin2αni·cos2（ui） （4-18）
式中 αni——接觸角（rad）；
ui——瞬時(shí)接觸線的方位角（rad）。
由嚙合剛度產(chǎn)生的勢(shì)能與轉(zhuǎn)換后的扭轉(zhuǎn)剛度產(chǎn)生的勢(shì)能相等，可列方程
式中 Ki——嚙合剛度（N/mm）；
n——活齒個(gè)數(shù)。
將式（4-18）代入式（4-19），整理得到等效后的扭轉(zhuǎn)剛度為
同理，對(duì)于活齒與導(dǎo)架的嚙合副來說，嚙合剛度轉(zhuǎn)化成等兒扭轉(zhuǎn)剛度為
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