4.5.3軸類零件扭轉(zhuǎn)阻尼
軸類零件的扭轉(zhuǎn)阻尼主要是材料阻尼，根據(jù)H.H.Lin和C.Lee等的分析，其扭轉(zhuǎn)阻尼可利用下式進(jìn)行計(jì)算：
式中 ks——軸類零件的扭轉(zhuǎn)剛度（N·mm/rad）；
ξs——軸類零件的扭轉(zhuǎn)阻尼系數(shù)，根據(jù)D.R.HOuser等的試驗(yàn)研究；
ξs一般取0.005～0.075；
I1，I2——分別為軸類零件兩端慣性元件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（kg·m·mm）。
4.6圓柱正弦活齒減速器扭振動(dòng)態(tài)特性分析
初步確定圓柱正弦活齒減速器的結(jié)構(gòu)參數(shù)：主動(dòng)軸正弦滾道周期數(shù)Z1=1，殼體正弦滾道周期數(shù)Z3=4，傳動(dòng)比i=5，活齒半徑r=4mm，正弦滾道幅值A(chǔ)=4mm，導(dǎo)架壁厚b=3mm，正弦滾道深度b1=2mm，額定輸入轉(zhuǎn)速150Orpm，額定輸出扭矩20N.m。利用前面建立的圓柱正弦活齒減速器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型對(duì)減速器系統(tǒng)進(jìn)行扭振分析，找出系統(tǒng)的固有特性，即固有頻率和主振型。由于軸承的旋轉(zhuǎn)阻尼很小，這里忽略不計(jì)。根據(jù)減速器各元件實(shí)際尺寸及式（4-20）、（4-21）計(jì)算得到各慣性元件的等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、彈性元件的等效扭轉(zhuǎn)剛度如表4-1所示。
表4-1慣性元件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和彈性元件的扭轉(zhuǎn)剛度
Il
（kg·m·mm） |
I2
（kg·m·mm） |
I3
（kg·m·mm） |
ke1
（N·mm/rad） |
ke2
（N·mm/rad） |
ke3
（N·mm/rad） |
| 0.06452 |
0.00928 |
0.140163 |
1.1589×106 |
9.6431×107 |
1.4606×107 |
根據(jù)式（4-9）、（4-10）及（4-12）計(jì)算出固有頻率、勢(shì)能分布率和模態(tài)柔度見(jiàn)表4-2。利用Matlab編制程序還繪制出圖4-5所示的減速器系統(tǒng)的振型曲線。
表4-2圓柱正弦活齒減速器扭振動(dòng)力學(xué)分析結(jié)果
| 固有頻率（Hz) |
644.357 |
1539.216 |
17922.727 |
| 主振型 |
{1.0000,0.43699,
0.44766} |
{1.0000，-21.037,
-24.347} |
{1.0000，-3525.3,
202.23} |
勢(shì)能
分布
率 |
彈性元件1 |
0.8960135 |
0.0945825 |
0.0094040 |
| 彈性元件2 |
0.0004073 |
0.1271889 |
0.8724037 |
| 彈性元件3 |
0.1035791 |
0.7782286 |
0.1181923 |
系統(tǒng)模態(tài)柔度
×10-6(rad／（N·mm)) |
0.18604 |
1.78412 |
0.0006657 |
通過(guò)表4-2中的分析結(jié)果我們可以看出，二階（1539.246Hz）系統(tǒng)模態(tài)柔度最大，所以該階模態(tài)是危險(xiǎn)模態(tài)。要找出造成該階危險(xiǎn)模態(tài)的具體原因，我們可以考察各彈性元件的勢(shì)能分布率。從表4-2中可以看到，此時(shí)3號(hào)彈性元件的勢(shì)能分布率最大，這說(shuō)明在扭轉(zhuǎn)時(shí)，它的彈性變形能最大，即它是最薄弱環(huán)節(jié)，是造成危險(xiǎn)模態(tài)的主要原因。從這個(gè)結(jié)論出發(fā)，便可以采取相應(yīng)措施來(lái)改進(jìn)設(shè)計(jì)方案。通過(guò)適當(dāng)增大殼體正弦滾道與活齒間的嚙合剛度來(lái)提高等效扭轉(zhuǎn)剛度，便可改善該減速器的動(dòng)態(tài)特性。動(dòng)態(tài)性能好的系統(tǒng)應(yīng)該是各階模態(tài)柔度小而且每階模態(tài)中各元件的能量分布均勻。為了達(dá)到這個(gè)目標(biāo)，可以按照上述方法繼續(xù)調(diào)整有關(guān)彈性元件的扭轉(zhuǎn)剛度，直到獲得滿意的結(jié)果為止。
在負(fù)載變化和誤差較小的情況下，圓柱正弦活齒減速器系統(tǒng)的激勵(lì)頻率就是嚙合剛度的變化頻率。它的計(jì)算如下：
f=n1/60=25Hz （4-23）
式中 ni——輸入軸轉(zhuǎn)速（rpm)。
由表4-2中結(jié)果可知，減速器系統(tǒng)的一階基頻為644.357Hz，系統(tǒng)基頻遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于激勵(lì)頻率，因此該減速器的振動(dòng)水平較低，振動(dòng)和噪聲較小。
4.7圓柱正弦活齒傳動(dòng)的有限元模態(tài)分析
有限元法（FEM）是一種采用計(jì)算機(jī)求解結(jié)構(gòu)靜、動(dòng)態(tài)力學(xué)特性等問(wèn)題的數(shù)值方法，它具有精度高、適應(yīng)性強(qiáng)以及計(jì)算格式規(guī)范統(tǒng)一等優(yōu)點(diǎn)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于機(jī)械、航空宇航、汽車、船舶，土木、核工程及海洋工程等許多領(lǐng)域，成為現(xiàn)代機(jī)械產(chǎn)品設(shè)計(jì)的重要工具。當(dāng)前，國(guó)際上最具影響力的有限元分析軟件之一是美國(guó)ANSYS公司開(kāi)發(fā)的ANSYS軟件。
ANSYS軟件是融結(jié)構(gòu)、傳熱學(xué)、流體、電磁、聲學(xué)、爆破分析為一體的大型通用有限元分析軟件，按其功能作用可分為：一個(gè)前處理器、一個(gè)求解器、兩個(gè)后處理器、幾個(gè)輔助處理器等。前處理器用于生成有限元模型；求解器用于施加載荷及邊界條件，完成求解運(yùn)算；后處理器用于獲取求解結(jié)果，以便對(duì)模型做出評(píng)價(jià)。另外，ANSYS還提供了強(qiáng)大的數(shù)據(jù)接口程序，使得在其他CAD軟件中建立的模型可以很方便的導(dǎo)入ANSYS中，一旦模型成功導(dǎo)入后，就可以像在ANSYS中創(chuàng)建的模型那樣對(duì)此模型進(jìn)行求解運(yùn)算。這些接口程序是由ANSYS公司或CAD供應(yīng)商編寫的軟件。
其中值得注意的是ANSYS-Pro/ENGINEER接口，因?yàn)樗峁┝艘詧?zhí)行部件為基礎(chǔ)的參數(shù)化優(yōu)化設(shè)計(jì)的功能。該功能允許由部件為基礎(chǔ)的參數(shù)化Pro/ENGINEER模型開(kāi)始，用ANSYS程序?qū)ζ溥M(jìn)行優(yōu)化，并以一個(gè)優(yōu)化的Pro/ENGINEER模型結(jié)束，且仍是以部件為基礎(chǔ)的參數(shù)化模型。
4.7.1減速器三維實(shí)體模型的建立
進(jìn)行有限元分析前首先必須建立減速器的三維實(shí)體模型。雖然ANSYS在有限元分析方面具有強(qiáng)大的功能，但是在三維實(shí)體建模方面并不比專業(yè)的CAD軟件占有優(yōu)勢(shì)。對(duì)于復(fù)雜的實(shí)體模型，甚至需借助其它軟件才能完成。
工程用三維實(shí)體建模軟件主要有Pro/ENGINEER、Ideas、UG等。其中美國(guó)PTC公司開(kāi)發(fā)的Pro/ENGINEER是世界上第一個(gè)基于特征的參數(shù)化實(shí)體建模軟件，其在三維建模、尤其是復(fù)雜曲面的造型方面處于國(guó)際領(lǐng)先水平�？紤]到圓柱正弦活齒減速器中，主動(dòng)軸及殼體等零件的實(shí)體特征比較復(fù)雜，因此本文采用Pro/ENGINEER對(duì)減速器進(jìn)行三維實(shí)體建模。
在進(jìn)行有限元分析時(shí)，我們將螺栓、端蓋等輔助零件予以忽略，而只關(guān)注與減速器工作直接相關(guān)的主動(dòng)軸、活齒、導(dǎo)架和殼體等關(guān)鍵零件，據(jù)此建立減速器三維實(shí)體模型如圖4-6所示。
4.7.2主動(dòng)軸及導(dǎo)架的模態(tài)分析
在結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)分析中，模態(tài)分析用于確定所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)或機(jī)器部件的振動(dòng)特性（固有頻率和振型）。由于主動(dòng)軸和導(dǎo)架動(dòng)力學(xué)特性直接影響減速器的性能及壽命，所以應(yīng)對(duì)主動(dòng)軸、導(dǎo)架進(jìn)行模態(tài)分析，確定其固有頻率及振型，也為譜響應(yīng)分析、隨機(jī)振動(dòng)分析創(chuàng)造條件。
零件模型采用IGES格式導(dǎo)入ANSYS，對(duì)于結(jié)構(gòu)中含有復(fù)雜曲面的模型，Pro/E和ANSYS中定義的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)也不盡相同，若直接將在Pro/E中輸出的IGES格式實(shí)體模型導(dǎo)入ANSYS，會(huì)致使網(wǎng)格劃分耗費(fèi)大量時(shí)間，甚至導(dǎo)致無(wú)法對(duì)模型劃分網(wǎng)格。因此，本文在Pro/E中僅將模型的表面以IGES格式輸出，在導(dǎo)入ANSYS后，應(yīng)用VA命令將零件表面重新生成實(shí)體。值得注意的是，生成體之前，應(yīng)采用AGLUE命令檢查面與面交界的連續(xù)性，否則將不能成功生成實(shí)體模型。
拓?fù)湫扪a(bǔ)后選擇單元為solid45，指定楊氏模量為2.06×1011N/m2，密度為7800kg/m3，泊松比為0.3。對(duì)模型采用人工網(wǎng)格劃分，利用LESIZE來(lái)控制網(wǎng)格密度，考慮到主動(dòng)軸空間正弦滾道的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，分割正弦滾道邊界曲線和正弦滾道的三條拓?fù)渚�，并使線分割的密度相同。對(duì)于導(dǎo)架，分割活齒槽的直邊，并使線分割的密度相同。
四面體單元每個(gè)節(jié)點(diǎn)有三個(gè)自由度（Tx,Ty,Tz)，通過(guò)限制節(jié)點(diǎn)的自由度，對(duì)模型施加約束。模擬軸承的作用，在安裝軸承處的零件表面施加約束，首先將表面上所有節(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)由笛卡爾坐標(biāo)（x,y,z）轉(zhuǎn)換為柱坐標(biāo)（R,θ,Z)，然后限制自由度R。并在主動(dòng)軸的輸入軸端面和導(dǎo)架的輸出軸端面，限制所有節(jié)點(diǎn)的自由度。劃分網(wǎng)格并施加約束的主動(dòng)軸見(jiàn)圖4-7。
選擇Subspace特征值求解器，指定擴(kuò)展模態(tài)數(shù)為4，頻率范圍為0～1000Hz。求得輸入軸的前四階固有頻率為101.SHz、207.2Hz、660.6Hz、661.2Hz，對(duì)應(yīng)的振型見(jiàn)圖4-8。一階振型為繞z軸扭轉(zhuǎn)，二階振型為沿z軸軸向拉伸，三階振型為在xoz平面彎曲，四階振型為在yoz平面彎曲。
同樣劃分網(wǎng)格并施加約束的輸出軸見(jiàn)圖4-9。求得輸出軸的前四階固有頻率為82.2Hz、265.4Hz、386.2Hz、386.7比，對(duì)應(yīng)的各振型見(jiàn)圖4-10。一階振型為繞z軸扭轉(zhuǎn)，二階振型為沿z軸軸向拉伸，三階振型為在xoz平面彎曲，四階振型為在yoz平面彎曲。
根據(jù)旋轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)速與頻率的關(guān)系：
n=60·f （4-24）
式中 n——轉(zhuǎn)速（rpm）；
f——頻率（Hz）。
將主動(dòng)軸、導(dǎo)架的固有頻率轉(zhuǎn)化為臨界轉(zhuǎn)速，所得結(jié)果見(jiàn)表4-3。
表4-3 主動(dòng)軸、導(dǎo)架的臨界轉(zhuǎn)速 （rpm）
| |
主動(dòng)軸 |
導(dǎo)架 |
| 階次 |
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
2 |
3 |
4 |
| 轉(zhuǎn)速 |
6108 |
12432 |
39636 |
39672 |
4932 |
15924 |
23172 |
23202 |
輸入軸和輸出的工作轉(zhuǎn)速分別為1440rpm和288rpm，從表4-3中可以看出，兩軸的工作轉(zhuǎn)速均大在低于臨界轉(zhuǎn)速。
4.8本章小結(jié)
1.將圓柱正弦活齒減速器的各個(gè)零件簡(jiǎn)化成相應(yīng)的慣性元件和彈性元件，建立減速器的系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型：利用拉格朗日方程從系統(tǒng)能量的角度建立了減速器系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)數(shù)學(xué)模型；并給出了活齒等效轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、嚙合副等效扭轉(zhuǎn)剛度和軸類零件阻尼的計(jì)算公式；
2.根據(jù)建立的動(dòng)力學(xué)模型，通過(guò)編程求解圓柱正弦活齒減速器系統(tǒng)的無(wú)阻尼自由振動(dòng)方程，得到了該系統(tǒng)的固有頻率、模態(tài)柔度和各階振型等固有動(dòng)態(tài)特性參數(shù)。結(jié)果表明，該減速器具有良好的動(dòng)態(tài)特性；
3.根據(jù)所求的模態(tài)柔度和各彈性元件的勢(shì)能分布率，找到了危險(xiǎn)模態(tài)及導(dǎo)致危險(xiǎn)的薄弱環(huán)節(jié)，為進(jìn)一步改進(jìn)其結(jié)桅桿，提高動(dòng)態(tài)特性，提供了理論依據(jù)；
4.應(yīng)用Pro/ENGINEER建立起減速器的三維實(shí)體模型，利用有限元分析軟件ANSYS對(duì)樣機(jī)中的關(guān)鍵件進(jìn)行了模態(tài)分析。
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