第5章 基于灰色系統(tǒng)理論的多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)
5.1引言
隨著生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)的高速發(fā)展，機(jī)械產(chǎn)品與設(shè)備逐漸向高速、高效、精密、輕量化和自動(dòng)化方向發(fā)展，產(chǎn)品結(jié)構(gòu)的日趨復(fù)雜，對(duì)其工作性能的要求越來越高。在現(xiàn)代機(jī)械設(shè)計(jì)中，為設(shè)計(jì)出高性能的機(jī)械產(chǎn)品，需對(duì)機(jī)械的結(jié)構(gòu)、可靠性及動(dòng)態(tài)特性等多方面性能進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。而傳統(tǒng)的單一靜態(tài)設(shè)計(jì)己經(jīng)不能滿足生產(chǎn)對(duì)機(jī)械產(chǎn)品動(dòng)態(tài)性能的要求。因此，為使機(jī)械結(jié)構(gòu)系統(tǒng)同時(shí)具有良好的靜、動(dòng)態(tài)特性，必須對(duì)其進(jìn)行多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)。
對(duì)于復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)，人們力求采用數(shù)學(xué)規(guī)劃法，即由計(jì)算機(jī)自動(dòng)完成結(jié)構(gòu)系統(tǒng)分析的優(yōu)化過程，以便在設(shè)計(jì)階段即可獲得具有良好動(dòng)態(tài)特性的設(shè)計(jì)方案。而其中關(guān)鍵性的問題是如何建立動(dòng)態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)。因?yàn)閺臄?shù)學(xué)原理上看，機(jī)械結(jié)構(gòu)振動(dòng)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)變量與其動(dòng)態(tài)特性參數(shù)之間是一種高度非線性的映射關(guān)系，無法用一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)函數(shù)來表示，因此其目標(biāo)函數(shù)很難建立。人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一門近代發(fā)展的新興學(xué)科,它具有極強(qiáng)的非線性映射功能，是一種描述和處理非線性關(guān)系的有力數(shù)學(xué)工具。因此，可以利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型建立動(dòng)態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)，實(shí)現(xiàn)機(jī)械系統(tǒng)設(shè)計(jì)變量與其動(dòng)態(tài)特性參數(shù)之間的映射，解決動(dòng)態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)難以建立的難題，這樣就能夠利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法自動(dòng)地實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)。
在多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，同時(shí)使幾個(gè)分目標(biāo)都達(dá)到最優(yōu)值，一般來說是比較困難的。目標(biāo)函數(shù)之間關(guān)系復(fù)雜，甚至相互矛盾，往往由于一個(gè)分目標(biāo)的極小化而引起另一個(gè)或幾個(gè)分目標(biāo)的最優(yōu)值變壞。也就是說，各分目標(biāo)在求極小化過程中是相互矛盾的，所以人們只能求得一些滿意解，絕對(duì)最優(yōu)解一般是不存在的。而這些滿意解中的任意兩個(gè)解不一定能比較其優(yōu)劣，因此多目標(biāo)的解是半有序的�；疑垲惙治龇椒ㄌ峁┝藢で蠖嗄繕�(biāo)優(yōu)化問題的最滿意解的一個(gè)有效途徑，該方法比其他求解最滿意解的方法更具有理論依據(jù)和合理性，且方法實(shí)用性強(qiáng)，滿意程度可由欲望水平確定，能排列出滿意解的優(yōu)劣次序，為決策提供了更趨于實(shí)際的方法和依據(jù)。
根據(jù)以上思想，本文利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練動(dòng)態(tài)性能目標(biāo)函數(shù)，并在此基礎(chǔ)上，應(yīng)用灰色聚類分析方法對(duì)圓柱正弦活齒減速器系統(tǒng)進(jìn)行了多目標(biāo)動(dòng)態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)。利用該方法獲得了具有良好靜、動(dòng)態(tài)特性的設(shè)計(jì)方案，較傳統(tǒng)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，得到進(jìn)一步的優(yōu)化。
5.2 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
5.2.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)概述
BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)是一單向傳播的多層前向神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，網(wǎng)絡(luò)除輸入輸出節(jié)點(diǎn)外，還有一層或多層的隱含層節(jié)點(diǎn)，輸入信號(hào)從輸入層節(jié)點(diǎn)依次傳過隱含層節(jié)點(diǎn)，然后通過輸出層節(jié)點(diǎn)輸出。同層節(jié)點(diǎn)間沒有任何耦合，故每層節(jié)點(diǎn)的輸出只影響下一層節(jié)點(diǎn)的輸出。每個(gè)節(jié)點(diǎn)表示單個(gè)神經(jīng)元，隱含層蘿點(diǎn)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)常為sigmofd型函數(shù)，輸出層節(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)有時(shí)為線性。1987年RobertHecht-Nielson證明了對(duì)于任何在閉區(qū)間內(nèi)的一個(gè)連續(xù)函數(shù)都可以用具有一個(gè)隱含層的BP網(wǎng)絡(luò)來逼近，因而一個(gè)三層的BP網(wǎng)絡(luò)可以完成任意的n維到m維的映射。常見的三層BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)如圖5-1所示，其最下層稱為輸入層，中間層稱為隱含層，最上層稱為輸出層。
三層前饋型BP網(wǎng)絡(luò)采用BP算法來調(diào)整網(wǎng)絡(luò)連接權(quán)值和節(jié)點(diǎn)閾值。BP算法，即誤差逆?zhèn)鞑W(xué)習(xí)方法，是一種曲型的誤差修正方法。BP算法是一個(gè)種有教師的學(xué)習(xí)算法，整個(gè)網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)過程由信息的正向傳動(dòng)播和誤差的反向傳播兩上階段構(gòu)成，在正向傳播的過程中，輸入信息從輸入層經(jīng)隱含層逐層處理，并傳向輸出層，如果不能在輸出層得到期望的輸出，則轉(zhuǎn)入反向傳播，運(yùn)用梯度下降法連接權(quán)關(guān)于誤差函數(shù)的導(dǎo)數(shù)沿原來的連接通路返回，通過修改各層的權(quán)值使得誤差函數(shù)減小，直到達(dá)到收斂為止。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)練過程如圖5-2所示。
5.2.2應(yīng)用Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱訓(xùn)練BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)
Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱是以人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)理論為基礎(chǔ)，用Matlab語言構(gòu)造出典型神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的激活函數(shù)，使設(shè)計(jì)者對(duì)所選定網(wǎng)絡(luò)輸出的計(jì)算變成對(duì)激活函數(shù)的調(diào)用。另外，根據(jù)各種典型的修正網(wǎng)絡(luò)權(quán)值的規(guī)則及網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練過程，在Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱中編寫好了各種網(wǎng)絡(luò)設(shè)計(jì)與訓(xùn)練的子程序，設(shè)計(jì)者可根據(jù)自己的需要調(diào)用這些程序進(jìn)行網(wǎng)絡(luò)的訓(xùn)練，擺脫了每繁瑣的編程過程，使精力全總值訂中在問題的解決方法上，從而提高了工作效率和質(zhì)量。應(yīng)用Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱進(jìn)行BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)訓(xùn)練，具體過程如下：
（1）用小的隨機(jī)數(shù)對(duì)每一層的的權(quán)值wi和閾值bi初始化，以保證網(wǎng)絡(luò)不被大的加權(quán)輸入飽和，同時(shí)還要進(jìn)行以下參數(shù)的設(shè)定或初始化：期望誤差最小值err_goal、最大循環(huán)次數(shù)max_epoch、修正權(quán)值的學(xué)習(xí)速度lr等；
（2）計(jì)算網(wǎng)絡(luò)各層輸出矢量A1、A2，以及網(wǎng)絡(luò)誤差E
式中 A1——隱含層矢量；
A2——輸出層矢量；
P——樣本輸入值；
T——樣本輸出值；
A——網(wǎng)絡(luò)輸出值。
（3）計(jì)算各層反向傳播的誤差變化D1、D2，并計(jì)算各層權(quán)值的修正值及新的權(quán)值：
（4）再次計(jì)算權(quán)值修正后的誤差平方和：
SSE=sumsqr（T-pruelin（w2*tansig（w1*p，b1），b2）） （5-3）
（5）檢查SSE是否小于err_goal，若是，則訓(xùn)練結(jié)束；否則繼續(xù)。
5.3灰色系統(tǒng)理論
5.3.1灰數(shù)
只知道大概的范圍而不知道其確切值的數(shù)叫做灰數(shù)�；覕�(shù)并不是一個(gè)數(shù)，而是一個(gè)數(shù)的區(qū)間，記為
。設(shè)a為區(qū)間，ai為a中的數(shù)，如果灰數(shù)區(qū)間內(nèi)取值，稱ai為的一個(gè)可能白化值。為此，下列符號(hào)表示：
為一般灰數(shù)；
（ai）為以ai為白化值的灰數(shù)；
或（ai）是灰數(shù)的白化值，有時(shí)也用ai表示（ai）的白化數(shù)。
5.3.2白化權(quán)函數(shù)
屬于某個(gè)區(qū)間的灰數(shù)，在該區(qū)間內(nèi)取值時(shí)，如果每一個(gè)數(shù)的取值機(jī)會(huì)相等，那么這個(gè)灰數(shù)稱之為純灰數(shù)或絕對(duì)灰數(shù)，如深取值機(jī)會(huì)不相等，那么稱這個(gè)灰數(shù)為相對(duì)灰數(shù)。由于任何一個(gè)（x）都是圍繞某個(gè)x組成的，因此認(rèn)為x在（x）中的地位最重要，權(quán)最大，而（x）中的其他值，則不一定是最重要的，權(quán)不一定都有一樣大。如果用f(x）表示（x）上不同x的權(quán)，則稱廠（x）為(x）的白化權(quán)函數(shù)。
設(shè)有如圖5-3所示的白化權(quán)函數(shù)f(x),f(x）∈[0,l]，如果滿足
(l)f(x)=L(x)，單調(diào)增，x∈（a,bl)
(2)f(x)=R(x)，單調(diào)降，x∈（b2，c)
(3)f(x)=max=1（峰值）,x∈［b1，b2］
則f(x）稱為典型白化權(quán)函數(shù)，稱L(x）為左增函數(shù)，R(x）為右降函數(shù)，稱[b1，b2]為峰區(qū)。峰區(qū)表示灰量x的最佳程度，即權(quán)為1，稱a為起點(diǎn)，c為終點(diǎn)，b1、b2為轉(zhuǎn)折點(diǎn)，其值稱為轉(zhuǎn)折值或閾值。
白化權(quán)函數(shù)的確定，是指函數(shù)形狀、函數(shù)起點(diǎn)和終點(diǎn)的確定。白化權(quán)函數(shù)的形狀是指L(x）與R(x）的形狀。當(dāng)已知較少的信息時(shí)可建立直線型白化權(quán)函數(shù)。而當(dāng)已知信息較多時(shí)可以選用曲線型白化權(quán)函數(shù)，曲線形式包括正態(tài)函數(shù)曲線、威布爾函數(shù)曲線、對(duì)數(shù)正態(tài)函數(shù)曲線等。
5.3.3灰色聚類
灰色聚類是建立在灰數(shù)的白化權(quán)函數(shù)生成的基礎(chǔ)上。它將聚類對(duì)象對(duì)于不同的聚類指標(biāo)所擁有的白化數(shù)，按幾個(gè)灰類進(jìn)行歸納，以判斷該聚類對(duì)象屬于那一類。
記I、Ⅱ、Ⅲ、…為聚類對(duì)象，i=1，2，…，n；
記l#、2＃、3＃、…為聚類指標(biāo)，j=1，2，…，m；
記l、2、3、…為聚類灰類，即灰類，k=l,2，…，n1；
記dij，i=l,2，…，n，j=l,2，…，m，為第i個(gè)聚類對(duì)象對(duì)第j個(gè)聚類指標(biāo)所擁有的白化數(shù)據(jù)（樣本）；
記fjk（dij）,i=1,2,，…，n，j=1,2，…，m,k=l,2，…，n，為第j個(gè)指標(biāo)對(duì)于第個(gè)k灰類的白化權(quán)函數(shù)。
5.3.4熟灰色聚類分析在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的應(yīng)用
多目標(biāo)模糊優(yōu)化問題是要求在優(yōu)化設(shè)計(jì)的同時(shí)有多個(gè)指標(biāo)達(dá)到滿意值，其數(shù)學(xué)模型為
求x=(x1,x2，…，xn）T
使min f1（x)
min f2（x)
…
min fm（x）
s.t. gj（x）≤0（j=1，2，…，j）
對(duì)于式（5-4)，若存在x*使f1（x)，f2（x)，…，fm(x）全部達(dá)到最小，則稱x*為理想解。在多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中，由于目標(biāo)函數(shù)間相互制約，往往得不到理想解，而滿意解也不止一個(gè)，因此定義最接近理想解的滿意解為最滿意解。應(yīng)用灰色聚類分析方法求解多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)中的最滿意解，具體步驟如下所示：
1.求樣本矩陣 設(shè)F1（x(1))λ，F(xiàn)2（x(2))λ，…，F(xiàn)n（x(n))λ，為求得n組滿意解，即
F1(x(1))λ=[f1(x(1))λ，f2(x(1))λ，…，fm(x(1))λ]
F2(x(2))λ=[f1(x(2))λ，f2(x(2))λ，…，fm(x(2))λ]
…
Fn(x(n))λ=[f1(x(n))λ，f2(x(n))λ，…，fm(x(n))λ]
簡(jiǎn)記F1(x(1))λ，F(xiàn)2(x(2))λ，…，F(xiàn)n(x(n))λ為F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n，稱集合F=[F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n]為對(duì)象集合，稱F(x*)λ=[f*1λ，f*2λ，…，f*mλ，]為理想對(duì)象，f=[f1，f2，…，fm]為目標(biāo)集合，則樣本矩陣為
2.求轉(zhuǎn)換樣本矩陣 即象矩陣 由于指標(biāo)不同，要求不同，因此有必要按上限效果測(cè)度、下限效果測(cè)度、中心效果測(cè)度來統(tǒng)一樣本。當(dāng)指標(biāo)要求“越大越好”時(shí)，可用上限效果測(cè)度，記統(tǒng)一后的樣本為dij，則有
當(dāng)指標(biāo)要求“越小越好”時(shí)，可用下限效果測(cè)度，即
當(dāng)指標(biāo)為適度的規(guī)格，即規(guī)格太高太低都不舍適時(shí)，采用中心效果測(cè)度，即
將樣本轉(zhuǎn)換后，得到轉(zhuǎn)換后的樣本矩陣
3.確定閾值及其矩陣 閾值即為轉(zhuǎn)折點(diǎn)值，可按某種規(guī)則取得，也可按照經(jīng)驗(yàn)或類比的方法獲得，或直接從角矩陣中獲得相對(duì)閾值，即在象矩陣中尋找最大、最小、中等閾值，方法如下：
如果認(rèn)為灰類或評(píng)估類別取“1”、“2”、“3”三級(jí)合適，考慮綜合評(píng)價(jià)權(quán)重的相對(duì)閾值的取值方法。由取矩陣
A=[ρ1d（max），ρ2d（mean），ρ3d″（min）] （5-11）
式中 一般取ρ1=0.80，ρ2=1.0，ρ3=1.20。
4.進(jìn)行灰色聚類 對(duì)象矩陣進(jìn)行聚類，聚類類別選為“1”、“2”、“3”三類時(shí)，其白化權(quán)函數(shù)分別與式（5-12）～（5-14）和圖5-4對(duì)應(yīng)。
①灰類∈[x2，∞]
②灰類∈[x1、x2、x3]
③灰類∈[0、x1、x2]
則第j個(gè)指標(biāo)屬于第k個(gè)灰類的標(biāo)致定聚類權(quán)ηjk為
式中 λjk——fjk的閾值，與相應(yīng)x1、x2、x3的對(duì)應(yīng)。
所有指標(biāo)的第i個(gè)聚類對(duì)象對(duì)于第k個(gè)灰類的聚類系數(shù)σik
將聚類系靈敏矩陣σ進(jìn)行歸一化處理得到歸一化矩陣σc
5.求最滿意解 設(shè)定
W=σc×AT=（W1，W2，…，Wn）T （5-17）
W1，W2，…，Wn分別對(duì)應(yīng)F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n的綜合評(píng)分值，值最大者為最滿意解。
求解多目標(biāo)優(yōu)化問題最滿意解的程序框圖如圖5-5所示。
上一頁
下一頁
